利用圖像的動態性解決函數的綜合問題

■河南省平頂山市第一中學 王麗娜 胡 玉

利用圖像的動態性解決函數的綜合問題

■河南省平頂山市第一中學 王麗娜 胡 玉

在每年高考試題當中,有關函數的試題都占有很大的比例。抽象性是函數問題的最大特點,如何尋找解決函數綜合問題的切入點?本文結合實例,利用作圖工具所作圖像的動態性,通過形象的展示與動態的變化,幫助同學們深刻理解函數的概念和性質,以及函數圖像的形成過程與應用。

一、利用圖像的動態性求解分段函數的單調性

動態解析:當a從0開始變化時,函數f(x)的圖像變化如圖1~圖5。滿足條件:在(-∞,+∞)上是減函數的只有圖2和圖3,即滿足 解得故選C。

圖1

提煉:分段函數f(x)在整個定義域上單調遞減必須從整體上考慮。不但要求在每一段上單調減,而且要求左半段的接點不低于右半段的接點,即整個函數圖像從左到右必須一直下降(允許間斷),借助圖像的動態變化使問題“一目了然”。

二、利用圖像的動態性求解函數圖像的交點問題

已知函數f(x)= -x2+8x,g(x)=6lnx+m。是否存在實數 m,使得y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且只有三個不同的交點?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由。

動態解析:當m從小到大變化時,兩條曲線的交點情況如圖6~圖10。當兩條曲線在某個位置相切,此時為它們之間交點個數變化的臨界位置,因此問題轉化為求兩條曲線相切時實數m的值。

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

當x=1時,f(x)與g(x)相切,如圖7所示,由f(1)=g(1),解得m=7。

當x=3時,f(x)與g(x)相切,如圖9所示,由f(3)=g(3),解得m=15-6ln3。

圖10

當7

當m=7或m= 15-6ln3時,函數f(x)與g(x)的圖像有兩個不同的交點,如圖7、9所示。

當m<7或m>15-6ln3時,函數f(x)與g(x)的圖像有一個交點,如圖6、10所示。

綜上所述:當7

提煉:利用計算機作圖工具可以幫助我們觀察函數圖像變化的過程及兩個函數圖像交點的變化規律,反過來幫助我們理解對數函數和二次函數的性質,以及它們之間的關系,使得數形結合有了更為廣闊的用武之地。

三、利用圖像的動態性求解函數的零點或方程的根

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

提煉:利用作圖工具作出5類圖像,尋求臨界值,動態變換求得參數范圍,凸顯“形助數”的指導作用。對于周期函數來說,除了要掌握函數的整體性質,還需要抓住每個周期內的性質特征。在解決周期函數與非周期函數的綜合問題時,研究兩個函數關系發生改變的某個周期是解決問題的關鍵,可以避免大量煩瑣的計算。

注:本文系2016年度河南省基礎教育教學研究項目“信息技術輔助高中數學函數教學的應用研究”,課題編號:JCJYC16030453。

(責任編輯 王福華)

圖2

圖3

圖4