歸納函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

■湖北省巴東縣第三高級(jí)中學(xué) 劉德龍

歸納函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

■湖北省巴東縣第三高級(jí)中學(xué) 劉德龍

一、指數(shù)問(wèn)題

研究表明,當(dāng)死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量不足死亡前的千分之一時(shí),用一般的放射性探測(cè)器就檢測(cè)不到碳14了。碳14的“半衰期”為5730年,若某一死亡生物組織內(nèi)的碳14經(jīng)過(guò)n(n∈N*)年后用一般的放射性探測(cè)器就檢測(cè)不到碳14了,則n的最小值為( )。

A.1000 B.5730 C.11460 D.57300

解析:設(shè)經(jīng)過(guò)m個(gè)“半衰期”,某一死亡生物組織內(nèi)的碳14經(jīng)過(guò)n(n∈N*)年后用一般的放射性探測(cè)器就檢測(cè)不到碳14了。依題意,,即2m>1000(m∈N*)。因?yàn)?10=1024,所以m的最小值為10。所以n=5730m=57300(年)。故選C。

點(diǎn)評(píng):本題是人教A版必修1第二章第59頁(yè)習(xí)題A組第9題,第67頁(yè)例6,通過(guò)生物機(jī)體內(nèi)碳14的“半衰期”考查指數(shù)的計(jì)算與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

變式1:研究表明,當(dāng)死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量不足死亡前的千分之一時(shí),用一般的放射性探測(cè)器就檢測(cè)不到碳14了。碳14的“半衰期”為5730年,死亡生物組織內(nèi)的碳14經(jīng)過(guò)12個(gè)“半衰期”后的含量約為死亡前的( )。

解析:由已知得,死亡生物組織內(nèi)的碳14的剩余量P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為,所以死亡生物組織內(nèi)的碳14經(jīng)過(guò)12個(gè)“半衰期”后的含量故選D。

變式2:為了預(yù)防流感,某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過(guò)程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間t(h)成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù)),如圖1所示。據(jù)圖中提供的信息,回答下列問(wèn)題:

圖1

(1)從藥物釋放開(kāi)始,每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)___;

(2)據(jù)測(cè)定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25mg以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)入教室,那么,藥物釋放開(kāi)始,至少需要經(jīng)過(guò)____h后,學(xué)生才能回到教室。

解析:(1)由題意和圖知,當(dāng)0≤t≤0.1時(shí),可設(shè)y=kt(k為待定系數(shù)),由于點(diǎn)(0.1,1)在直線上,所以k=10;同理,當(dāng)t>0.1時(shí),可得1=,解得所以

二、對(duì)數(shù)問(wèn)題

里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為M= lgA-lgA0,其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅,A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅。假設(shè)在一次地震中,地震儀記錄的最大振幅是1000,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則此次地震的震級(jí)為_(kāi)___級(jí);9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的____倍。

解析:根據(jù)題意,假設(shè)在一次地震中,測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則震級(jí)M=lgA-lgA0= lg1000-lg0.001=3-(-3)=6。

點(diǎn)評(píng):本題與人教A版必修1第66頁(yè)例5有相同的背景,考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,同時(shí)也提醒我們要有防范地震的意識(shí)。

三、近似計(jì)算問(wèn)題

《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)80年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相承也。又以高乘之,三十六成一。該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn),計(jì)算其體積V的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3。那么近似公式V≈相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為( )。

點(diǎn)評(píng):本題是《算數(shù)書(shū)》中π的近似計(jì)算,與人教A版必修1第53頁(yè)的不足近似值與過(guò)剩近似值的問(wèn)題相似。通過(guò)練習(xí)本題,提醒我們應(yīng)學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家刻苦鉆研的精神。

四、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象稱(chēng)為衰變。假設(shè)在放射性同位素銫137衰變過(guò)程中,其含量M(太貝克/年)與時(shí)間t(單位:年)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系:M(t)=,其中M0為t=0時(shí)銫137的含量,已知t=30時(shí),銫137含量的變化率為-10ln2 (太貝克/年),則M(60)=( )。

A.5太貝克 B.75ln2太貝克C.150ln2太貝克 D.150太貝克

點(diǎn)評(píng):本題通過(guò)放射性同位素銫137的衰變過(guò)程,考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,求導(dǎo)函數(shù)的值。

五、分段函數(shù)問(wèn)題

到銀行辦理個(gè)人異地匯款,銀行收取一定的手續(xù)費(fèi),匯款額不超過(guò)100元,收取1元手續(xù)費(fèi);超過(guò)100元但不超過(guò)5000元,按匯款額的1%收取;超過(guò)5000元,一律收取50元手續(xù)費(fèi)。試用條件語(yǔ)句描述匯款額為x元時(shí),銀行收取手續(xù)費(fèi)y元的過(guò)程,畫(huà)出流程圖。

解析:這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,故應(yīng)先建立數(shù)學(xué) 模 型, 依 題 意 有 y =,由此可知,求手續(xù)費(fèi)時(shí),需先判斷x的范圍,故應(yīng)用條件結(jié)構(gòu)描述。流程圖如圖2所示。

圖2

點(diǎn)評(píng):本題是數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用,考查分段函數(shù)模型,程序框圖。注意各段函數(shù)中自變量的取值范圍。

(責(zé)任編輯 王福華)