歸納函數與導數的綜合應用

■湖北省巴東縣第三高級中學 劉德龍

歸納函數與導數的綜合應用

■湖北省巴東縣第三高級中學 劉德龍

一、指數問題

研究表明,當死亡生物組織內的碳14的含量不足死亡前的千分之一時,用一般的放射性探測器就檢測不到碳14了。碳14的“半衰期”為5730年,若某一死亡生物組織內的碳14經過n(n∈N*)年后用一般的放射性探測器就檢測不到碳14了,則n的最小值為( )。

A.1000 B.5730 C.11460 D.57300

解析:設經過m個“半衰期”,某一死亡生物組織內的碳14經過n(n∈N*)年后用一般的放射性探測器就檢測不到碳14了。依題意,,即2m>1000(m∈N*)。因為210=1024,所以m的最小值為10。所以n=5730m=57300(年)。故選C。

點評:本題是人教A版必修1第二章第59頁習題A組第9題,第67頁例6,通過生物機體內碳14的“半衰期”考查指數的計算與指數函數的性質。

變式1:研究表明,當死亡生物組織內的碳14的含量不足死亡前的千分之一時,用一般的放射性探測器就檢測不到碳14了。碳14的“半衰期”為5730年,死亡生物組織內的碳14經過12個“半衰期”后的含量約為死亡前的( )。

解析:由已知得,死亡生物組織內的碳14的剩余量P與時間t的函數關系式為,所以死亡生物組織內的碳14經過12個“半衰期”后的含量故選D。

變式2:為了預防流感,某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒。已知藥物釋放過程中,室內每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間t(h)成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數關系式為(a為常數),如圖1所示。據圖中提供的信息,回答下列問題:

圖1

(1)從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間t(h)之間的函數關系式為____;

(2)據測定,當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25mg以下時,學生方可進入教室,那么,藥物釋放開始,至少需要經過____h后,學生才能回到教室。

解析:(1)由題意和圖知,當0≤t≤0.1時,可設y=kt(k為待定系數),由于點(0.1,1)在直線上,所以k=10;同理,當t>0.1時,可得1=,解得所以

二、對數問題

里氏震級M的計算公式為M= lgA-lgA0,其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅,A0是相應的標準地震的振幅。假設在一次地震中,地震儀記錄的最大振幅是1000,此時標準地震的振幅為0.001,則此次地震的震級為____級;9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的____倍。

解析:根據題意,假設在一次地震中,測震儀記錄的最大振幅是1000,此時標準地震的振幅為0.001,則震級M=lgA-lgA0= lg1000-lg0.001=3-(-3)=6。

點評:本題與人教A版必修1第66頁例5有相同的背景,考查對數的運算法則,同時也提醒我們要有防范地震的意識。

三、近似計算問題

《算數書》竹簡于上世紀80年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現存最早的有系統的數學典籍,其中記載有求“囷蓋”的術:置如其周,令相承也。又以高乘之,三十六成一。該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3。那么近似公式V≈相當于將圓錐體積公式中的π近似取為( )。

點評:本題是《算數書》中π的近似計算,與人教A版必修1第53頁的不足近似值與過剩近似值的問題相似。通過練習本題,提醒我們應學習古代數學家刻苦鉆研的精神。

四、導數問題

放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現象稱為衰變。假設在放射性同位素銫137衰變過程中,其含量M(太貝克/年)與時間t(單位:年)滿足函數關系:M(t)=,其中M0為t=0時銫137的含量,已知t=30時,銫137含量的變化率為-10ln2 (太貝克/年),則M(60)=( )。

A.5太貝克 B.75ln2太貝克C.150ln2太貝克 D.150太貝克

點評:本題通過放射性同位素銫137的衰變過程,考查導數的計算,求導函數的值。

五、分段函數問題

到銀行辦理個人異地匯款,銀行收取一定的手續費,匯款額不超過100元,收取1元手續費;超過100元但不超過5000元,按匯款額的1%收取;超過5000元,一律收取50元手續費。試用條件語句描述匯款額為x元時,銀行收取手續費y元的過程,畫出流程圖。

解析:這是一個實際問題,故應先建立數學 模 型, 依 題 意 有 y =,由此可知,求手續費時,需先判斷x的范圍,故應用條件結構描述。流程圖如圖2所示。

圖2

點評:本題是數學知識的實際運用,考查分段函數模型,程序框圖。注意各段函數中自變量的取值范圍。

(責任編輯 王福華)