掃描導數應用新動向

■安徽省阜陽市太和中學 岳 峻

掃描導數應用新動向

■安徽省阜陽市太和中學 岳 峻

一、活用求導法則

含有導函數的不等式的求解問題是許多同學的弱項,突破此類問題的主要思路是:首先,熟練運用基本函數的求導法則與導數的四則運算法則,做到“正用、逆用、變形用”,透徹理解導數的本質:借助于導數與零的大小關系判斷函數的單調性;其次,認真觀察含有導函數的代數式的結構,注重分析待解不等式的結構特點,找出條件與結論之間的內在聯系;最后,根據已知信息的特點,聯想基本函數的求導法則與導數的四則運算法則,構造相應的函數,利用構造的函數的單調性達到求解問題的目的。

(2016年山西一模)設函數f(x)在R上存在導函數f'(x),對于任意的實數x,有f(x)+f(-x)=2x2,當x∈(-∞,0]時,f'(x)+1<2x。若f(2+m)-f(-m)≤2m+2,則實數m的取值范圍是____。

解析:構造函數g(x)=f(x)-x2+x,則g'(x)=f'(x)-2x+1。由f'(x)+1< 2x,知g'(x)=f'(x)-2x+1<0,所以g(x)在(-∞,0]上單調遞減。因為f(x)+ f(-x)=2x2,所以g(-x)+g(x)=0,所以g(x)是奇函數,所以g(x)在R上單調遞減。而f(2+m)-f(-m)≤2m+2,則g(2+m)≤g(-m),所以2+m≥-m,即m≥-1。故實數m的取值范圍是[-1, +∞)。

點評:條件中的關鍵信息是f'(x)+1< 2x,其結構是f'(x)+kxn+t的形式,這是哪個函數的導數呢?因此,構造函數h(x)=,則h'(x)=f'(x)-kxn。

二、函數的拆分

(河南省豫北名校聯盟2017屆高三上學期精英對抗賽)已知函數f(x)=,曲線f(x)在點(e,f(e))處的切線與直線e2x-y+e=0垂直(e為自然對數的底數)。

(1)若函數f(x)在區間(m,m+1)上存在極值,求實數m的取值范圍;

所以g(x)在區間(1,+∞)上是增函數,所以g(x)>g(1)=2,故

所以當x>1時,h'(x)<0,故函數f(x)在區間(1,+∞)上是減函數,所以h(x)<。所以,即

點評:本題主要是第(2)小題的待證不等式比較復雜,解決的關鍵是將其轉化為易于研究的兩個函數分別加以研究,靈活地進行放縮達到證明的目的,2016年山東卷理第21題的解答就是采用這種方法。本題的證明轉化為

三、存在性問題

(1)求f(x)的解析式及單調遞減區間;

(2)若存在x0∈[e,+∞),使函數成立,求實數a的取值范圍。

由f'(x)<0,解得0

若a≤e,則g'(x)≥0在x∈[e,+∞)上恒成立,所以g(x)在[e,+∞)上單調遞增,,所以。又a≤e,所以

若a>e,則g(x)在[e,a)上單調遞減,在(a,+∞)上單調遞增,所以g(x)在[e, +∞)上的最小值是g(a)。又因為g(a)<,而a>e,此時一定滿足條件。

點評:本題主要考查的是含參不等式的存在性,正確地變換分離參數是解決此類問題的關鍵。通過分離參數可轉化為存在a> h(x)或ah(x)max或a< h(x)min即可,利用導數知識結合單調性求出h(x)min或h(x)max即可得解。

四、恒成立問題

(1)當a=1時,求函數f(x)在點(3, f(3))處的切線方程;

(2)求f(x)的單調區間;

(3)若f(x)在x0處取得極值,且x0?[e+2,e3+2],而f(x)≥0在[e+2,e3+2]上恒成立,求實數a的取值范圍(其中e為自然對數的底數)。

因為x>2,所以x-2>0。

①當a<0時,(x-1)2-(a+1)= x(x-2)-a>0在x∈(2,+∞)上成立,所以f'(x)在x∈(2,+∞)上恒大于0,故f(x)在(2,+∞)上是增函數。

綜上:當a<0時,f(x)在(2,+∞)上為增函數;當a>0時,f(x)在)上為增函數,在()上為減函數。

(3)由(2)知f(x)在x0處有極值,故a>0,且

因為x0?[e+2,e3+2],且e+2>2,所以f(x)在[e+2,e3+2]上單調。

①當[e+2,e3+2]為增區間時,f(x)≥0恒成立,則有2e3。

②當[e+2,e3+2]為減區間時,f(x)≥0恒成立,則有,解集為空集。

綜上:實數a的取值范圍是(e6+2e3, +∞)。

點評:本題主要考查的是含參不等式的恒成立問題,正確分離參數是關鍵,也是常用的一種手段。通過分離參數可轉化為a> h(x)或ah(x)max或a

五、新定義概念問題

(1)求實數a的值。

(2)定義:定義域為M的函數y=h(x)在點P(x0,h(x0))處的切線方程為l:y= g(x),若在M內恒成立,則稱P為函數y=h(x)的“類對稱點”。問:函數y=f(x)是否存在“類對稱點”。若存在,請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標;若不存在,請說明理由。

當a=1時,f'(x)≥0,函數f(x)單調遞增,無極值。

當00,f(x)單調遞增;在區間上,f'(x)<0,函數f(x)單調遞減;在區間上,f'(x)>0,f(x)單調遞增。所以,當x=1時,函數f(x)有極大值,不滿足條件。

故所求實數a的值為4。

(2)由(1)可得f(x)=2x2-5x+lnx,所以

函數f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程為,函數y=f(x)是否存在“類對稱點”等價于:當0x0時, f(x)-g(x)>0恒成立。

令F(x)=x0[f(x)-g(x)]=2x0x2-,則x0-x0lnx0=0。

當0

0x)上恒成立,所以,得

0

當x>x0時,要F(x)=f(x)-g(x)> 0恒成立,只需F(x)在(x0,+∞)上是增函數,只要4xx-1>0,即在(x,

00+∞)上恒成立,所以,得

點評:本題借助于“類對稱點”的新定義概念,考查函數與導數的應用。求解此類問題需緊扣新定義概念的理解,靈活地運用相關的知識點來分析。

(責任編輯 王福華)