函數與導數的綜合性問題

■江蘇省南通市第二中學高中部 丁玉娟

函數與導數的綜合性問題

■江蘇省南通市第二中學高中部 丁玉娟

導數是研究函數的工具,導數進入新教材之后,給函數問題注入了生機和活力,開辟了許多解題新途徑,拓展了高考對函數問題的命題空間,所以把導數與函數綜合在一起是順理成章的事情。從近年來的高考試題可以看出,對函數的命題已不再拘泥于一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數及對數函數等,對研究函數的目標也不僅限于求定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性及周期性等,而是把高次多項式函數、分式函數、指數型函數、對數型函數,以及初等基本函數的和、差、積、商都作為了命題的對象,試題的命制往往融函數、導數、不等式及方程等知識于一體,通過演繹證明、運算推理等理性思維,解決單調性、極值、最值、切線、方程的根及參數的范圍等問題。這類試題難度很大、綜合性強、內容新、背景新、方法新,是高考命題的豐富寶藏。解題中需用到函數與方程、分類與整合、數形結合、化歸與轉化、有限與無限、特殊與一般等數學思想。下面我們舉例說明函數與導數的綜合性問題。

考查內容之一:求參數的取值范圍

(山西省長治二中、臨汾一中、康杰中學、晉城一中2017屆高三第一次聯考)已知函數f(x)=2x+sinx+ln(x2+1+ x),若不等式f(3x-9x)+f(m·3x-3)<0對任意x∈R均成立,則m的取值范圍為( )。

點評:解決此類問題要處理好抽象與具體的關系。f(x)=2x+sinx+是具體的函數,如果把3x-9x,m·3x-3代入已知函數,再解不等式f(3x-9x)+f(m·3x-3)<0就小題大做了,不是明智的選擇,利用函數的單調性則能化繁為簡,順利求解。

考查內容之二:求值

設切點A(x0,sinx0),因為y'=cosx,

點評:本題考查了極值概念、導數幾何意義的運用、向量知識的轉化,以及三角函數的求值等。

已知函數f(x)=ex+ax-1 (a∈R)。

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間;

解析:(Ⅰ)因為f(x)=ex+ax-1,所以f'(x)=ex+a。

當a≥0,時,?x∈R,有f'(x)>0,所以函數f(x)在區間(-∞,+∞)上單調遞增。

當a<0時,由f'(x)>0,得x> ln(-a);由f'(x)<0,得x

綜上所述,當a≥0時,函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,+∞);當a<0時,函數f(x)的單調遞增區間為(ln(-a),+∞),單調遞減區間為(-∞,ln(-a))。

(Ⅱ)g(x)=(x2-a)e2-x,方程-x2+ 2x+a=0有兩個不同的實根x1,x2(x1< x2),所以Δ=4+4a>0,即a>-1,且x1+ x2=2。又x1

(1)當x1=0時,不等式x1[2e2-x1-λ(e2-x1+1)]≤0恒成立,λ∈R。(2)當x1∈(0,1)時,[2e2-x1-λ(e2-x1+ 1)]≤0恒成立,即令函數,顯然,k(x)是 R上的減函數。故當x∈(0,1)時,k(x)<

(3)當x1∈(-∞,0)時,[2e2-x1-λ(e2-x1+1)]≥0恒成立,即由(2)知,當x∈(-∞,0)時,k(x)>k(0)=所以

考查內容之三:求最值

已知函數f(x)=e2x,g(x)=,?a∈R,?b∈(0,+∞),使得f(a)=g(b),則b-a的最小值為( )。

解析:由f(a)=g(b),可得e2a=lnb+。令,則,所以,所以令f0,得,所以當時,f(t)為遞減函數,當時,f(t)為遞增函數,所以b-a的最小值為。故選A。

A.8 B.9 C.10 D.11

解析:f'(x)=1-x+x2-x3+…+ x2018,當x=-1時,f'(x)>0,當x≠-1時,,若x< -1,則f'(x)>0,若x>-1,則f'(x)>0,故函數f(x)在R上為增函數。又因為0,f(0)=1>0,所以函數f(x)在其定義域內的區間(-1,0)上只有一個零點,同理可證明函數g(x)在R上為減函數,由于g(1)=0,所以函數g(x)在(1,2)上有一個零點,所以F(x)=f(x+3)·g(x-4)在區間(-4, -3)或(5,6)上有零點,由于F(x)的零點在區間[a,b]上,所以b-a的最小值為6-(-4)=10。故選C。

考查內容之四:證明不等式

已知函數f(x)=x-sinx,數列{an}滿足:0

證明:(Ⅰ)先用數學歸納法證明:0< an<1,n=1,2,3,…。

①當n=1時,0

②假設當n=k(k>1)時,結論成立,即0

當00,所以f(x)在(0,1)內單調遞增。

又f(x)在[0,1]上連續,所以f(0)< f(ak)

所以,當n=k+1時,結論成立。

由①、②可得,0

又0

由(Ⅰ)知,當0f(0),即sinx

因為g(x)在[0,1]上連續,且g(0)=0,所以,當00,所以g(an)>0,即,即an-sinan=an+1,所以

點評:本題以函數為載體,考查導數及其應用、數學歸納法、構造法、不等式證明、遞推數列等基礎知識和基本技能,考查同學們的分析、判斷、推理和運算能力,以及等價轉化的數學思想,是道很好的題。

總之,函數與導數的綜合性問題,主要有:①含參函數的單調區間;②已知函數在某一區間上是減函數(或增函數),求參數的取值范圍;③由切點、切線、極值點等,求函數解析式;④證明與計算一些幾何問題(面積定值,恒過一定點等);⑤比較大小或證明不等式或解不等式;⑥已知方程的根的個數(零點),求參數的取值范圍;⑦恒成立問題;⑧極值或最值問題。高考試題會從這些考點中選擇幾個問題進行考查,分值在26分左右。該類試題的特點是:①以填空題、選擇題考查導數的概念、求函數的導數、求函數的單調區間、求函數的極值與最值;②與導數的幾何意義相結合的函數綜合題,利用導數求解函數的單調性或求單調區間、最值、極值,屬于中檔題;③利用導數求實際應用問題中的最值,屬于中檔偏難題;④利用導數解決零點問題及證明不等式等問題,屬于難題。

復習時,同學們要“回歸”課本,濃縮所學的知識,夯實基礎,熟練掌握解題的通性、通法,提高解題速度。同時,許多高考試題在教材中都可找到原型,即由教材中的例題、習題引申變化而來。因此,同學們必須要利用好課本,夯實自己的基礎知識。

(責任編輯 王福華)