函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合性問題

■江蘇省南通市第二中學(xué)高中部 丁玉娟

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合性問題

■江蘇省南通市第二中學(xué)高中部 丁玉娟

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具,導(dǎo)數(shù)進(jìn)入新教材之后,給函數(shù)問題注入了生機(jī)和活力,開辟了許多解題新途徑,拓展了高考對函數(shù)問題的命題空間,所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情。從近年來的高考試題可以看出,對函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)等,對研究函數(shù)的目標(biāo)也不僅限于求定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性及周期性等,而是把高次多項(xiàng)式函數(shù)、分式函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù),以及初等基本函數(shù)的和、差、積、商都作為了命題的對象,試題的命制往往融函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式及方程等知識(shí)于一體,通過演繹證明、運(yùn)算推理等理性思維,解決單調(diào)性、極值、最值、切線、方程的根及參數(shù)的范圍等問題。這類試題難度很大、綜合性強(qiáng)、內(nèi)容新、背景新、方法新,是高考命題的豐富寶藏。解題中需用到函數(shù)與方程、分類與整合、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、有限與無限、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想。下面我們舉例說明函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合性問題。

考查內(nèi)容之一:求參數(shù)的取值范圍

(山西省長治二中、臨汾一中、康杰中學(xué)、晉城一中2017屆高三第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2x+sinx+ln(x2+1+ x),若不等式f(3x-9x)+f(m·3x-3)<0對任意x∈R均成立,則m的取值范圍為( )。

點(diǎn)評:解決此類問題要處理好抽象與具體的關(guān)系。f(x)=2x+sinx+是具體的函數(shù),如果把3x-9x,m·3x-3代入已知函數(shù),再解不等式f(3x-9x)+f(m·3x-3)<0就小題大做了,不是明智的選擇,利用函數(shù)的單調(diào)性則能化繁為簡,順利求解。

考查內(nèi)容之二:求值

設(shè)切點(diǎn)A(x0,sinx0),因?yàn)閥'=cosx,

點(diǎn)評:本題考查了極值概念、導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用、向量知識(shí)的轉(zhuǎn)化,以及三角函數(shù)的求值等。

已知函數(shù)f(x)=ex+ax-1 (a∈R)。

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解析:(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=ex+ax-1,所以f'(x)=ex+a。

當(dāng)a≥0,時(shí),?x∈R,有f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。

當(dāng)a<0時(shí),由f'(x)>0,得x> ln(-a);由f'(x)<0,得x

綜上所述,當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞);當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln(-a),+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,ln(-a))。

(Ⅱ)g(x)=(x2-a)e2-x,方程-x2+ 2x+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2(x1< x2),所以Δ=4+4a>0,即a>-1,且x1+ x2=2。又x1

(1)當(dāng)x1=0時(shí),不等式x1[2e2-x1-λ(e2-x1+1)]≤0恒成立,λ∈R。(2)當(dāng)x1∈(0,1)時(shí),[2e2-x1-λ(e2-x1+ 1)]≤0恒成立,即令函數(shù),顯然,k(x)是 R上的減函數(shù)。故當(dāng)x∈(0,1)時(shí),k(x)<

(3)當(dāng)x1∈(-∞,0)時(shí),[2e2-x1-λ(e2-x1+1)]≥0恒成立,即由(2)知,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),k(x)>k(0)=所以

考查內(nèi)容之三:求最值

已知函數(shù)f(x)=e2x,g(x)=,?a∈R,?b∈(0,+∞),使得f(a)=g(b),則b-a的最小值為( )。

解析:由f(a)=g(b),可得e2a=lnb+。令,則,所以,所以令f0,得,所以當(dāng)時(shí),f(t)為遞減函數(shù),當(dāng)時(shí),f(t)為遞增函數(shù),所以b-a的最小值為。故選A。

A.8 B.9 C.10 D.11

解析:f'(x)=1-x+x2-x3+…+ x2018,當(dāng)x=-1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x≠-1時(shí),,若x< -1,則f'(x)>0,若x>-1,則f'(x)>0,故函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)。又因?yàn)?,f(0)=1>0,所以函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的區(qū)間(-1,0)上只有一個(gè)零點(diǎn),同理可證明函數(shù)g(x)在R上為減函數(shù),由于g(1)=0,所以函數(shù)g(x)在(1,2)上有一個(gè)零點(diǎn),所以F(x)=f(x+3)·g(x-4)在區(qū)間(-4, -3)或(5,6)上有零點(diǎn),由于F(x)的零點(diǎn)在區(qū)間[a,b]上,所以b-a的最小值為6-(-4)=10。故選C。

考查內(nèi)容之四:證明不等式

已知函數(shù)f(x)=x-sinx,數(shù)列{an}滿足:0

證明:(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明:0< an<1,n=1,2,3,…。

①當(dāng)n=1時(shí),0

②假設(shè)當(dāng)n=k(k>1)時(shí),結(jié)論成立,即0

當(dāng)00,所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增。

又f(x)在[0,1]上連續(xù),所以f(0)< f(ak)

所以,當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立。

由①、②可得,0

又0

由(Ⅰ)知,當(dāng)0f(0),即sinx

因?yàn)間(x)在[0,1]上連續(xù),且g(0)=0,所以,當(dāng)00,所以g(an)>0,即,即an-sinan=an+1,所以

點(diǎn)評:本題以函數(shù)為載體,考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造法、不等式證明、遞推數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,考查同學(xué)們的分析、判斷、推理和運(yùn)算能力,以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,是道很好的題。

總之,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合性問題,主要有:①含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;②已知函數(shù)在某一區(qū)間上是減函數(shù)(或增函數(shù)),求參數(shù)的取值范圍;③由切點(diǎn)、切線、極值點(diǎn)等,求函數(shù)解析式;④證明與計(jì)算一些幾何問題(面積定值,恒過一定點(diǎn)等);⑤比較大小或證明不等式或解不等式;⑥已知方程的根的個(gè)數(shù)(零點(diǎn)),求參數(shù)的取值范圍;⑦恒成立問題;⑧極值或最值問題。高考試題會(huì)從這些考點(diǎn)中選擇幾個(gè)問題進(jìn)行考查,分值在26分左右。該類試題的特點(diǎn)是:①以填空題、選擇題考查導(dǎo)數(shù)的概念、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值與最值;②與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的函數(shù)綜合題,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間、最值、極值,屬于中檔題;③利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際應(yīng)用問題中的最值,屬于中檔偏難題;④利用導(dǎo)數(shù)解決零點(diǎn)問題及證明不等式等問題,屬于難題。

復(fù)習(xí)時(shí),同學(xué)們要“回歸”課本,濃縮所學(xué)的知識(shí),夯實(shí)基礎(chǔ),熟練掌握解題的通性、通法,提高解題速度。同時(shí),許多高考試題在教材中都可找到原型,即由教材中的例題、習(xí)題引申變化而來。因此,同學(xué)們必須要利用好課本,夯實(shí)自己的基礎(chǔ)知識(shí)。

(責(zé)任編輯 王福華)