求解三角函數(shù)問題常用的數(shù)學(xué)思想

■賀顯孟

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、對(duì)稱思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、換元思想、函數(shù)與方程思想、整體代換思想等。

一、數(shù)形結(jié)合思想

例1 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+b的圖像,如圖1所示,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)+f(2023)的值為____。

圖1

因?yàn)?+2+…+2023=4×506,所以f(0)+f(1)+f(2)+ … +f(2022)+f(2023)=4×506=2024。

評(píng)析:數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老,也是最基本的研究對(duì)象,它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化,形中覓數(shù),數(shù)中構(gòu)形。

二、分類討論思想

評(píng)析:因?yàn)閙的符號(hào)不同,點(diǎn)P的位置不同,相應(yīng)的角α的三角函數(shù)值不同,所以需要對(duì)m進(jìn)行討論。

三、對(duì)稱思想

解:因?yàn)閒(x)的圖像上相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為2π,所以,解得ω=1,這時(shí)f(x)=sin（x+φ）。

評(píng)析:正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像上相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為一個(gè)周期。函數(shù)f(x)=cosx的圖像的對(duì)稱中心為

四、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

五、換元思想

例5 函數(shù)y=cos2x-4cosx+5 的值域?yàn)開____。

解:令t=cosx,由x∈R,可得-1≤t≤1。原函數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(t)=t2-4t+5=(t-2)2+1。當(dāng)t=-1,即cosx=-1時(shí),函數(shù)f(t)有最大值10;當(dāng)t=1,cosx=1時(shí),函數(shù)f(t)有最小值2。

故所求函數(shù)的值域是[2,10]。

評(píng)析:令t=cosx,這時(shí)要注意t的取值范圍。

六、函數(shù)與方程思想

評(píng)析:利用韋達(dá)定理,結(jié)合(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ,求出m的值是解題的關(guān)鍵。

七、整體代換思想

例7 已知函數(shù)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(8)=5,則f(25)的值為____。

解:因?yàn)閒(8)=asin(8π+α)+bcos(8π+β)=asinα+bcosβ=5,所以f(25)=asin(25π+α)+bcos(25π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ)=-5,即f(25)=-5。

評(píng)析:由題設(shè)得asinα+bcosβ=5,再利用整體代換思想求得f(25)的值。