解題應追求解法自然

胡永斌

【摘要】數學離不開解題，解題應追求解法自然，然而，對于同一道題，往往因為一個人的知識結構、思維習慣和數學活動經驗的不同，會形成不同的解法，但無論哪一種解法，都是人的一種思維自然生成的過程.在數學例題、習題教學中，我們要重視解題過程中數學思維能力的訓練與培養.

【關鍵詞】解題；自然；思維能力；培養

一、題目再現

在學習人教版“24.1.4圓周角”后，對教材安排的例4的教學進行了反思，題目及教材解答摘錄如下：

例 如圖1，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC，AD，BD的長.

圖1

圖2

解 如圖2，連接OD.

∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中，BC=AB2-AC2=102-62=8（cm）.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD.在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD=BD=22AB=22×10=52（cm）.

二、解法研究——對求AD，BD的長的方法做一探討

解法1 利用圓周角定理，同圓中圓心角、弦之間的關系定理以及勾股定理求解.

反思 這是教材中給出的解法.此方法為求AD，BD的長，作了輔助線（連接OD）.其意圖是構造圓心角∠AOD和∠BOD，利用圓周角定理證明∠AOD=∠BOD，進而利用同圓中圓心角、弦之間的關系定理得出AD=BD，最后在Rt△ADB中利用勾股定理求解AD，BD的長.教材意圖是為運用圓周角定理，因而添加輔助線，在初中數學的學習中，幾何的證明和計算難點就在輔助線，加之運用定理多，綜合性強，增加了難度.我在教學中幫助學生小結了圓中添加輔助線的一般規律，克服學生添加輔助線的盲目性.

解法2 利用圓周角定理及推論、勾股定理求解，如圖2，連接OD（過程略）.

反思 在學完教材解法之后，我提出有無其他解法時，學生經過小組合作交流，小組展示時的解法與教材解法相比，運用了圓周角定理的推論，而沒有用同圓中圓心角、弦之間的關系定理，求解AD，BD的長是在Rt△AOD和Rt△BOD中，學生是發現了∠ACB=90°，∠BAD=∠BCD=45°，所以AD=BD=2OA=2×5=52（cm）.學生雖然沒有綜合運用以前學過的知識，但較熟練地運用了本節重點.由于教材中作出了輔助線，學生思考的空間被限制了.

解法3 利用圓周角定理的推論及勾股定理求解.

如圖1，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.又∵∠ACD=∠ABD，∠BCD=∠BAD，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD.∵AB是直徑，∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∴AD=BD=22AB=22×10=52（cm）.

反思 在解法2之后，學生沉思片刻，面無表情之時，我突然發問：“求解AD，BD的長不作輔助線能行嗎？”一語驚醒夢中人.教室里“嘩”的一聲，小組又開始忙活了，兩分鐘左右，各組踴躍發言.解法3就是學生想到的解法.相比之下，解法3簡潔、自然，更貼近學生的最近發展區，更容易讓學生接受，也沒有讓學生頭疼的輔助線.

三、解后反思

（一）解法力求自然

筆者以為，所謂自然解法即指不勉強、不呆板的方法.解法1雖然學生可以接受，但給人勉強、呆板之感；解法2麻煩；解法3很自然.學生一拿到題，其實并不該急忙去找輔助線，何況作輔助線是幾何學習中的一大難點，對能力差的學生來說更難，因為這對概念、定理的掌握程度，學生的數學基本素養要求較高.

（二）通過小結與反思學習解題

美國教育心理學家波斯納說：“沒有反思的經驗是狹隘的經驗，至多只能是膚淺的知識.”因此，他提出了教師成長的公式：成長=經驗+反思.這節課中例題的教學，筆者就是根據以前的教學經驗，重新解讀教材，設計學生自主探索、合作交流、教師引導點撥的教學方式，教學過程中進行反思，達到了預設與生成共有的效果.

反思是一種有益的思維活動和再學習方式，課堂中教師引導學生小結與反思，使學生既鞏固了基礎知識與技能，又熟悉了數學基本活動經驗，進而開拓思路，提高自己的分析問題、解決問題的能力，掌握一般的解題規律.

（三）注重一題多解，切忌貪多求快

一題多解就是針對一道題目，能夠有多種解決的方法.它不但能夠開拓思維的廣度和深度，而且能夠鍛煉思維的敏捷性，使學生能夠找到多方面知識的內在聯系，在提高解題能力的同時，又能讓學生感覺到數學的整體性，幫助學生整合所學知識，達到觸類旁通.

在教學交流中，常聽到有教師抱怨，這個知識點或這道題都講過幾遍了，學生還是不會.造成教學低效的根本原因是教學過程沒有觸動學生的思維，沒有讓學生參與到解題思維的過程中去，學生缺少基本活動經驗和缺乏基本數學思想，缺少對題目多種解法的探究與反思.當然，與許多教師熱衷追求課堂的高密度、大容量、快節奏有一定關系.其實，教師應給學生足夠的時間理解題目和自主思考，給學生充分的時間總結和反思，看似耽誤一些時間，其實能夠提高解題效率.