圓錐曲線極值問題的解題技巧

張玉勛

【摘要】眾所周知，圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，也是歷年高考的必考點(diǎn).圓錐曲線的知識(shí)點(diǎn)繁多、復(fù)雜，并且在問題設(shè)置上經(jīng)常與其他知識(shí)點(diǎn)緊密地聯(lián)系在一起，因此，此類問題的綜合性強(qiáng)、難度大，學(xué)生對(duì)于解答此類問題往往感覺無從下手，甚至看到此類問題就直接放棄.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線；極值問題

有關(guān)圓錐曲線的極值問題，內(nèi)容十分豐富，聯(lián)系極為廣泛，它既包括了代數(shù)、幾何及三角等學(xué)科中的很多的基礎(chǔ)知識(shí)，又容納了很多的技巧.容量大、綜合性強(qiáng)、相互滲透是該問題的基本特征.從近些年的數(shù)學(xué)高考可以看出，該類問題往往考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思維敏捷程度和解決問題的能力.因此，本文將通過一些實(shí)例，對(duì)圓錐曲線的極值問題的解題技巧進(jìn)行深入的剖析.

一、二次函數(shù)法

所謂二次函數(shù)法，就是利用二次函數(shù)的性質(zhì)去解決問題，但是二次函數(shù)的性質(zhì)比較多，因此，用何種性質(zhì)、怎么用，可以說是解題技巧的重點(diǎn)所在.由于此類問題要求極值，所以利用二次函數(shù)的特有性質(zhì)：對(duì)二次函數(shù)

解析要想求出其兩者之間的最小距離，就必須將兩者之間的距離用函數(shù)表達(dá)式列出，然后，進(jìn)行求解.因此，不妨設(shè)拋物線上的一點(diǎn)為Q（x1，y1），則y21=2x1，由兩點(diǎn)之間的距離公式，得|PQ|=（x1-4）2+y21=x21-6x1+16.因?yàn)楸婚_方數(shù)二次項(xiàng)的系數(shù)為正，所以當(dāng)x=3時(shí)，（x21-6x1+16）min=7，即|PQ|min=7.

點(diǎn)撥通過該例題我們可以看出，利用二次函數(shù)法進(jìn)行求圓錐曲線的極值，其實(shí)質(zhì)就是將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題.其中需要特別留意的是，該類方法的難點(diǎn)之處就在于，如何建立二次函數(shù)，因此，在利用此方法進(jìn)行解題時(shí)要靈活運(yùn)用其他知識(shí).

二、不等式法

所謂不等式法，就是利用不等式的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題、求值.利用不等式求最值是高中數(shù)學(xué)的常用方法之一，因此，此方法在求圓錐曲線的極值問題時(shí)也有很大的應(yīng)用.但是需要注意的是，在利用該方法進(jìn)行解題時(shí)，也要注意其前提條件，例如，a≥0，b≥0或者a，b為實(shí)數(shù)等.

三、定義法

所謂定義法，顧名思義就是利用相關(guān)的定義進(jìn)行解題.有一些圓錐曲線求極值的題目，應(yīng)用其他一些方法很難解決問題，此時(shí)可以考慮回到其定義中去，不僅可以加深對(duì)曲線極值的理解，有時(shí)還會(huì)使解題過程更加簡(jiǎn)潔.

例3長(zhǎng)度為l的線段AB，其兩端點(diǎn)在拋物線y=x2上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離為.

點(diǎn)撥通過例題我們可知，要想很好地利用定義法進(jìn)行解題，一方面，要對(duì)圓錐曲線的定義要有充分的記憶和了解.另一方面，要對(duì)圓錐曲線的一些性質(zhì)要有很好的認(rèn)知.由于高考越來越重視對(duì)書本知識(shí)的考查，定義法將會(huì)被命題者重視，因此，學(xué)生要對(duì)此方法要有很好的理解并且能靈活運(yùn)用.

綜上所述，圓錐曲線的極值問題經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在高考的填空題中，因此，要想實(shí)現(xiàn)高效、巧妙的解題，掌握其解題技巧就十分重要了.當(dāng)然本文只是涉及了一些常用的方法，學(xué)生要想更多地了解并掌握一些技巧，就需要在平常的學(xué)習(xí)中慢慢探索.