勤反思，抓要點，促轉化

龔建國

【摘要】初中學生初步接觸幾何推理，由于知識和能力的局限性，感到學習困難.本文以“平行線判定和性質”內容的教學實踐為例，反思在幾何教學入門中，教學內容的設計應遵循教與學的認知規律和學生心理發展規律，凸顯方法規律，由易到難，由簡到繁，進行循環遞進式的教學.

【關鍵詞】初中幾何教學；平行線；角；轉化

新課程標準明確指出：七年級數學要開始培養學生的識圖能力、畫圖能力以及符號的轉換能力和推理能力，為今后幾何的學習打好基礎.但說到幾何題，學生普遍的感覺就是“幾何，幾何，想破腦殼”.不僅學生覺得難學，不少教師也認為幾何不好教，教與學都存在一定的困難.

一、困難成因

首先，為什么學生會認為幾何題難？究其原因，我認為主要有以下幾點.一是理解能力有限.學生在小學階段接觸的幾何知識比較有限，并且平面幾何一開始介紹的概念比較抽象，所以有的學生對定義和概念的理解模糊不清，只能死記硬背.在幾何學習中，如果對基本定義和概念不理解，將會影響學生對題意的理解.二是識圖能力較弱.對幾何圖形的觀察、識別是理解題意、分析問題、解決幾何問題的基礎.對圖形的認知不足，將會影響到問題的進一步分析.三是轉換能力欠缺.大多數學生的疑難點都在這里.幾何語言是幾何知識的載體，如果能夠將文字語言、幾何圖形、符號表示很好地聯系在一起，將會為問題的分析提供幫助.但幾何語言對于初步接觸幾何的學生來說卻是無異于一門新的語言.四是推理能力不足.學習幾何主要就是學習推理論證，提高邏輯推理能力.簡單的邏輯推理是學習幾何的基礎.在幾何問題的解決過程中，如何進一步將已知條件轉化、推演，是探尋證明結果的關鍵.

其次，教學中容易走入這樣的誤區：采用大量毫無新意的重復性練習，毫無章法的題海戰術去鞏固幾何知識，提升邏輯推理能力.這種教學方式不僅浪費時間，打擊學生的學習興趣，也讓教師感到疲憊和沉重，最終的結果只能事倍功半.作為教師，我也在思考，如何科學、合理地設計教學內容，精心地組織課堂教學，采取有效的措施和方法，能夠快速地提高學生的數學素養，讓學困生聽得懂，中等生做得出，學優生解得妙，使課堂教學實現真正的高效呢？

二、實踐中反思

在進行“相交線與平行線”這一章節的教學中，我的教學進度異常緩慢，我的教與學生的學都遇到了困難，學生第一次遇到幾何推理，對于要用數學符號語言表達出邏輯推理的過程，感覺無從下手，對于平行線和角之間的相互轉化，感覺很混亂.我一直在思考如何幫助學生突破這個瓶頸.

案例1 在“平行線的性質”這節課的練習中，有這樣一個問題：

已知，△ABC的三個頂點分別在直線a，b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，求∠3的度數.

這是一個考查平行線性質應用的題目，為了考查學生的掌握程度，我采取了先練后講的教學形式.學生經過自主練習，小組合作交流，展示出以下三種解法：

解法一 ∵a∥b，

∴∠EAC+∠1=180°.

∵∠1=120°，

∴∠EAC=180°-∠1=180°-120°=60°.

∵∠2+∠3+∠EAC=180°，∠2=80°，

∴∠3=180°-∠2-∠EAC=180°-80°-60°=40°.

解法二 ∵a∥b，∠1=120°，

∴∠DAC=∠1=120°.

∵∠2=80°，

∴∠3=∠DAC-∠2=120°-80°=40°.

解法三 ∵a∥b，∠2=80°，

∴∠ABC=∠2=80°.

∵∠ACB+∠1=180°，∠1=120°，

∴∠ACB=180°-∠1=180°-120°=60°.

∵∠3+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠3=180°-∠ABC-∠ACB=180°-80°-60°=40°.

學生解法的多樣性是令人驚喜的，說明他們對平行線的性質已經有了一定的認識，并且已經能夠應用于實際解決相關問題.經過了解，大概有80%的學生使用的是第一種解法，18%的學生用的是第二種解法，只有2%的學生使用第三種解法.

我和學生們對三種解法進行了分析和討論，學生經過討論后認為，第一和第二種解法優于第三種解法，因為步驟少、解法直接.其中，使用解法一的學生是將解題目標角∠3放在平角∠DAE中去思考，推理得出：∠DAE和∠2的度數已知，只有∠EAC的度數是未知的，問題就轉化為求∠EAC的度數.再進一步分析：∠EAC與已知的∠1是已知的平行線a和b被AC所截形成的一對同旁內角，至此，問題迎刃而解.使用第二種解法的學生，則是想到將∠3和∠2組成的∠DAC和已知角∠1聯系在一起，這是已知的平行線a和b被AC所截形成的一對內錯角，問題也能夠很快解決.

應該說能夠使用前兩種解法的學生，對于圖形識別、平行線和角的相互轉化推理是比較熟練的，能夠將已知條件和所求統籌地聯系在一起進行分析，用比較直接的方法解決問題.而使用第三種解法的學生也會使用平行線的性質去推出角的關系，但思維還局限于小學所熟知的三角形中，習慣用三角形內角和定理去解決求角度的問題，對平行線性質的認知僅停留在得出等角的層面上，使得解法不夠直接.三種解法的不同在于運用了平行線的不同的特殊角.

這一道題目的討論解決了這節課困擾部分學生的問題：平行線的性質可以用來做什么？揭示了平行線性質在解決幾何問題中的作用：由兩直線的平行關系可以得出同位角、內錯角的相等關系，同旁內角的互補關系，這些特殊角的關系為不同位置的等角、互補的角的轉換，求角的度數提供了條件.而這類幾何問題的解決最終還是要歸結到平行線和三種特殊角、角和角之間的轉化問題上.

三、反思后再實踐

在經過“平行線的性質”這節課的教學之后，學生對于幾何問題的理解、識圖、轉換、推理有了進一步的認識.有了前面的經驗，我認為應該調整教學思路，在教學中要抓好“三線八角”這一基礎作為主線，由平行線的三種特殊角的進一步轉化尋求解題突破點.

案例2 在“平行線的判定和性質綜合”這一節的教學中，我先給出下面的問題：

已知AB∥CD，∠A=∠C，求證AD∥BC.

學生能夠從上節課的分析方法中找到思路，由已知的平行線找特殊角入手，獨立解決問題，最后得出了兩種解法：

解法一 ∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°.

∵∠A=∠C，

∴∠C+∠D=180°，

∴AD∥BC.

解法二 ∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°.

∵∠A=∠C，

∴∠A+∠B=180°，

∴AD∥BC.

經過對比分析和討論，學生認為這兩種解法從本質上來說是一樣的，同樣借助了平行線的同旁內角進行角的轉換解決問題，所不同的是采用了不同的截線去截已知的平行線，從而得出了不同的同旁內角.學生還進一步總結出由一組平行線去證明另一組直線平行的基本解題思路：先由已知的平行線出發，通過尋找截線，推出三種特殊角的等量關系，再結合已知條件進行角的轉換，找到證明另一組平行線需要的三種特殊角，而之前學習的對頂角、鄰補角也可以為證明提供等角和互補的角的條件.

有了這一基本思路和上面的基本圖形做鋪墊，當我再給出了下面的變式圖形，要求學生盡可能多地去尋找解決方法的時候，學生已經不再像之前那樣感覺無從入手.經過小組合作交流，學生共得到了四種解法：

已知AB∥CD，∠A=∠C，求證AD∥BC.

解法一 ∵AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=180°.

∵∠A=∠C，∴∠C+∠ADC=180°，

∴AD∥BC.

解法二 ∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠C=180°.

∵∠A=∠C，∴∠A+∠ABC=180°，

∴AD∥BC.

解法三 ∵AB∥CD，

∴∠A=∠ADE.

∵∠A=∠C，∴∠ADE=∠C，

∴AD∥BC.

解法四 ∵AB∥CD，

∴∠FBC=∠C.

∵∠A=∠C，∴∠FBC=∠A，

∴AD∥BC.

可以看出，解法一和解法二與上一道題的兩種解法完全相同，都是利用已知平行線截得的同旁內角解決問題，而解法三是利用內錯角∠A和∠ADE，解法四則是利用同位角∠A和∠FBC去進行進一步的轉換推理.由此可見，學生對平行線判定和性質的綜合應用能力確實有了提升.打鐵趁熱，我繼續進行鞏固練習：

已知∠EFC=∠DAE，∠B=∠D，直線AB與直線CD平行嗎？請說明理由.

這道習題的解決變成了學生們的展示平臺，大部分學生已經能靈活運用不同截線截取已知的平行線，構造三種特殊角，再結合已知的等角，對角進行靈活轉換，得出不同的解法.雖然幾何問題的解決不在于追求方法的多樣性，但鼓勵學生大膽嘗試，充分運用已知條件，有助于提高學生的邏輯推理能力.

四、總 結

總之，“授之以魚，不如授之以漁”.在幾何的教學中，“相交線和平行線”這一部分的知識只是入門，由于學生知識和能力的局限性，教師的教學應從學生的角度出發，充分考慮學生的學習能力，抓住知識主線，幫助學生理清思路，將學習的知識點由單一漸變為綜合，幾何圖形也應該由簡單漸變為復雜.由易到難，由簡到繁，循環遞進式的教學，可以更有效地幫助初步接觸幾何推理的學生逐步提高邏輯推理的嚴密性.教師精心備好教學內容的同時，還應該重視學生的錯題，多對錯題進行辨析，多對學情分析反饋，根據學生的學情不斷進行調整優化，練習題、作業題的設計上遵循學習規律，體現從單一到運用再到綜合的循環上升，凸顯方法和規律，著力提高學生的理解、識圖、轉換和推理能力，最終實現幾何學習的高效、實效.