滲透數學思想發展思維能力

古彩蓮

【摘要】本設計以學生非常熟悉的生活用品為載體，通過讓學生觀察思考、動手操作與合作交流等學習方式，引領學生主動參與、積極探究圓柱表面積的計算方法.教師積極關注學生的認知背景和生活經驗，落實“促進學生主動學習，主動發展”的課標要求，滲透類比、轉化、數形結合的數學思想、促進學生思維能力的發展.

【關鍵詞】數學思想；類比；轉化；數形結合；思維能力

一、教學目標

1.知識目標：理解圓柱體側面積和表面積的含義.

2.能力目標：通過操作、觀察、分析、總結，推導出圓柱體的側面積的計算方法，能正確計算圓柱體側面積和表面積，并初步運用知識解決實際問題.

3.情感目標；通過探索、合作學習，激發學生學習熱情以及培養學生合作探究意識，滲透愛國、愛家的情感，滲透類比、轉化、數形結合的數學思想，發展學生思維能力.

二、教材分析

“圓柱的表面積”是北師大版小學數學第十二冊第一單元的內容.在學習長方體和正方體的表面積時，學生已經理解了表面積的含義，這是圓柱表面積學習的基礎.圓柱的表面是由兩個相同的底面和一個側面構成的，計算圓柱底面的面積就是計算圓的面積，對學生來說不是新知識，所以教材把探索圓柱側面積的計算方法作為重點.在本課學習中，教材強調了圓柱側面展開的探索過程，觀察展開圖與圓柱各部分的關系，從而得出圓柱側面積的計算方法，總結出圓柱表面積的計算步驟.

三、學情分析

學生已經掌握了圓面積計算方法的推導過程，并會計算圓面積；還理解和掌握了長方體（正方體）的表面積的含義及計算方法，同時認識了圓柱和圓錐的特征.所以，本課的學習，學生是有基礎的.本班學生，大部分基礎比較好，喜歡學數學；課堂上能專心聽講，女學生發言積極，表達較完整；帶學具帶得較齊，動手操作較快.但本課安排在第一周，學生過完春節剛回來，心還沒完全收回來，這給學習帶來了影響.

四、教學重點

探索圓柱的側面積的計算方法，正確計算圓柱的表面積.

五、教學難點

圓柱側面展開圖的多樣性，并能夠將展開圖與圓柱體的各部分建立聯系，推導出圓柱側面積的計算公式，總結出圓柱表面積的計算方法.

六、教學方法

啟發教學法、觀察分析法、思考討論法.

七、學習方法

觀察分析、操作探討、合作交流.

八、教學準備

多媒體課件，學生課前準備的長方體實物、易拉罐、圓柱形紙盒或其他圓柱體、剪刀等.

九、教學過程

（一）復習舊知，引出新課，激活思維

教師：同學們，我們學習了長方體（正方體）的表面積，現在，我們來復習.請同學們摸一摸長方體，摸到了什么？想到了什么？

學生：摸到了長方體（正方體）的六個面，想到了長方體（正方體）六個面的面積總和叫作長方體（正方體）的表面積.

教師：說得好.那我們也摸摸自己帶來的圓柱體.（學生自行操作）

教師：同學們，你們摸到了什么？想到了什么？

學生：摸到了圓柱的兩個底面和一個側面，想到了圓柱的表面積.

教師：那，什么是圓柱的表面積呢？

學生1：圓柱表面的大小叫作圓柱的表面積.

學生2：圓柱的側面加上兩個底面的大小叫作圓柱的表面積.

學生3：圓柱的側面積加上兩個底面的面積的和叫作圓柱的表面積.

教師：想一想，哪名同學講得完整？

學生：第三名同學講的好.

（教師板書圓柱表面積的概念，組織學生朗讀概念）

教師：老師的看法也和大家一樣.那么做一個圓柱形紙盒需多大的硬紙板，是算什么呢？

學生：是算圓柱的表面積.

教師：對，這節課我們就來學習圓柱的表面積.（板書課題）

設計意圖：這一環節，在教師的引導下，學生復習了長方體（正方體）的表面積的意義，在教師的啟發下，學生們通過摸一摸、想一想、說一說，悟出了圓柱體的表面積的含義.這個簡短的過程，是教師引導學生將已學的知識、技能，從已知的對象中遷移到未知的對象中來，這樣做，既有利于學生對所學知識的理解，又有利于溝通新舊知識之間的聯系.這一環節很好地滲透了類比的數學思想.

（二）合作探究，學習新知

1.動手操作，活躍思維

教師：我們理解了圓柱表面積的含義，那么圓柱表面積怎么算呢？

學生1：一個側面積加兩個底面積.

學生2：圓柱表面積等于側面積加底面積乘2.

教師：第二名同學說得很好，老師把他說的改成一個等式，大家看，可以嗎？

板書：圓柱表面積=側面積+底面積×2.

學生：可以.

教師：底面積會算嗎？

學生：會，就是算圓的面積，再把圓的面積乘2.

教師：說得對，這是我們學過的.同學們，圓柱的側面是一個曲面，它的面積怎么算呢？同學們不用著急，想一想，圓的面積的計算方法是怎樣得來的？

學生：老師，我們把圓剪拼成近似的長方形，發現長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，長方形的面積=長×寬，圓的面積=πr2.

教師：把圓剪拼成長方形來觀察，這一過程我們可以稱之為什么？

學生：就是把圓轉化成長方形來觀察.

教師：說得好，轉化是一種數學思想.同學們能不能用轉化的方法找出圓柱的側面積的計算方法.

學生：老師，是不是要把圓柱的側面剪開來觀察.

教師：說得好，真棒！把圓柱的側面剪開就是要把圓柱的側面展開.下面請大家拿出學具，四人小組合作，好好操作、好好觀察，大家一起分析討論，完成答題卡，以便找出圓柱側面積的計算方法.

（伴隨著輕柔的鋼琴曲，學生開始探索活動）

答題卡上的題目是：

（1）圓柱體側面展開后是一個怎樣的圖形呢？你能想辦法說明嗎？

（2）如果圓柱側面展開圖是一個長方形，這個長方形的長與寬和這個圓柱有什么關系？

（3）怎樣求圓柱的側面積？

設計意圖：本環節通過啟發學生回憶圓面積的計算方法的來由，從而想起了轉化的數學思想，想到了用轉化來探究圓柱側面積的計算方法.學生的思維被打開，在音樂聲中進行合作交流，學生的思維活躍了，積極性高了.

2.匯報交流，培養思維

教師：哪個組到講臺上說說本組的發現？

小組1：我們把圓柱的側面剪開，展開后發現是一個長方形.（在教師的幫助下，把展開圖貼在黑板上）我們觀察到這個長方形的長等于圓柱底面的周長，這個長方形的寬等于圓柱的高.因為長方形的面積等于長乘寬，所以圓柱的側面積等于底面周長乘高.（學生說，教師寫）

板書：

圓柱的側面積等于底面周長乘高

教師：對于小組1的回答，同學們有什么補充？

學生1：要沿著圓柱的高來剪，展開才是一個長方形.

學生2：“你能想辦法說明嗎？”這個問題他們沒有回答.我的回答是用一張長方形的紙，可以卷成圓柱形.

教師：很好.還有哪個組到講臺上說說本組的發現？

小組2：我們組有名同學剪歪了，展開后發現是個平行四邊形.（在教師的幫助下，把展開圖貼在黑板上）這個平行四邊形的底等于圓柱底面的周長，這個平行四邊形的高等于圓柱底面的高，因為平行四邊形的面積等于底乘高，所以圓柱側面積等于底面周長乘高.（學生說，教師寫）

板書：

圓柱側面積等于底面周長乘高

教師：展開后是個平行四邊形的，誰到講臺上演示一下？（用教師的教具）

教師：還有哪個組要說？

（現實生活中，圓柱側面展開是正方形的物品比較少，考慮到這一點，教師事先準備這樣的圓柱）

教師：如果沒有的話，老師也來剪一剪，大家看看有什么新發現？

（教師沿著圓柱的高來剪，展開后把圖形沿對角線對折，然后卷成圓柱形，這樣重復兩遍）

教師：誰有新發現？

學生：我發現，老師沿著圓柱的高剪開，展開后得到的是正方形，這個正方形的一條邊長等于圓柱的底面周長，另一條邊長等于圓柱的高.（學生說，教師再演示，然后貼在黑板上）因為正方形的面積等于邊長乘邊長，所以圓柱側面積等于底面周長乘高.（學生說，教師寫）

板書：

圓柱側面積等于底面周長乘高

教師：很好，掌聲鼓勵.現在老師用課件把三種情況演示一下，大家邊看邊說.

教師：同學們，大家知道了圓柱側面積等于底面周長乘高，如果用S側表示圓柱的側面積，C表示底面周長，h表示高，那么S側=Ch，用字母還可以怎樣表示？

學生1：S側=2πrh.

學生2：S側=πdh.

教師：說得好，大家可以根據題目給的條件計算圓柱的側面積.

設計意圖：讓學生展示探究結果，在這個過程中，學生說，教師課件演示，數形結合，生動形象，使學生一目了然.在這個過程中，學生發現圓柱可以轉化成長方形、平行四邊形、正方形，雖然轉化的圖形不同，但結果一樣，都是圓柱側面積等于底面周長乘高.通過滲透轉化、數形結合的數學思想，讓學生的思維在說說、看看、想想的過程中得到了很好的培養.

3.總結方法，發展思維

教師：同學們，通過轉化，我們探究出了圓柱側面積的計算方法.如果要算圓柱的表面積，先算什么？再算什么？

學生1：先算兩個底面積的和，再算側面積，最后把它們加起來.

教師：轉化的方法真的很好，為什么好？誰來說說.

學生1：轉化讓我學到了新知識.

學生2：轉化讓我學到了圓柱側面積的計算方法.

學生3：轉化讓我知道把不會算的圖形變成會算的圖形.

學生4：轉化讓我想到了圓柱表面積的另外一種計算方法.把圓柱的表面轉化成一個大長方形，算長方形的面積就可以了.

教師：這很好，你能邊說邊畫嗎？

學生：大家看好了，將圓柱的側面展開成一個長方形，它的長是2πr，寬是h.圓柱的上、下兩個底面等分成若干份后也拼成兩個完全相同的長方形，每個長方形的長是πr，寬是r.再把這兩個小長方形拼在一起得到一個新的長方形，新長方形的長是2πr，寬是r，然后把這個新長方形與側面展開所形成的長方形拼成一個大長方形，則這個大長方形的長、寬分別為2πr和（h+r）.這樣，圓柱的表面積就轉化成求長方形的面積了.可以用公式表示為S=2πr（h+r）.

教師：非常好，這名同學積極開動腦筋，想出了另外一種方法.掌聲鼓勵這名同學.看來計算圓柱表面積有兩種方法，大家可選擇自己喜歡的方法來解題.

設計意圖：這一環節，在教師的引導下，學生明白圓柱體的表面積的計算方法及步驟.但教師的“轉化的方法真的很好，為什么好”這個問題，刺激了學生思維的深處，讓學生想出圓柱表面積的另外一種計算方法.這個過程再次滲透了轉化的思想，在轉化思想的指導下，學生的思維得到了很好的發展.轉化思想是數學思想的重要組成部分.它是從未知領域發展，通過數學元素之間的因果聯系向已知領域轉化，從中找出它們之間的本質聯系，解決問題的一種思想方法.讓學生了解、掌握和運用“轉化”的數學思想與方法，不僅有利于提高學生數學學習的效率，開發學生的智力，培養學生的數學能力，發展學生的數學思維，還為學生的后繼學習和未來發展乃至終身發展奠定堅實的基礎.

4.運用新知，培養能力

教師：現有一個圓柱紙盒，底面半徑是10 cm，高是30 cm，做這樣的紙盒至少需要多大的紙板？（板書題目）大家會做嗎？請大家試一試.

（教師巡堂，指名板演）板演的學生的情況是這樣的：

學生1：側面積：

2×3.14×10×30

=3.14×600

=1884（cm2）

底面積：3.14×102=314（cm2）

表面積：1884+314×2=1884+628=2512（cm2）

學生2：

2×3.14×10×（30+10）

=3.14×20×40

=3.14×800

=2512（cm2）

答：做這樣的紙盒至少需2512 cm2的紙板.

（三）靈活運用，發展能力

（電腦課件出示）

1.填空：（口答）

（1）圓柱的側面沿著高展開可能是（）形，也可能是（）形.當展開圖是正方形時底面周長和高（）.

（2）要求一個圓柱的表面積，一般需要知道哪些條件（）.

2.用你喜歡的方法計算下列圓柱的表面積.（學生獨立完成，利用實物投影講評）

（1）d=4 cmh=6 cm

（2）r=3 cmh=10 cm

（3）C=31.4 cmh=8 cm

3.實際運用.

（1）制作一個底面直徑20厘米、長50厘米的圓柱形通風管，至少要用多少平方厘米的鐵皮？（學生獨立完成，利用實物投影講評）

（2）看下面的圖片，誰能認識圖片上的古樓？韶關森林公園有座什么樓？看到這些樓你有什么想法？（課件出示彩圖：天安門城樓、西安的鐘樓、湖南岳陽的岳陽樓、韶關的韶陽樓）

天安門城樓有很多根柱子，最小的直徑也有0.6米，每根12米長，油漆60根這樣的柱子，油漆的面積有多大？

設計意圖：本環節的練習，從易到難，從抽象到形象，從書本到生活，幫助學生很好地鞏固了所學知識.在圓柱表面積實際應用時，通風管鐵皮的大小、油漆柱子的面積，這些計算讓學生開動腦筋，明確計算的部分，準確選擇計算方法，培養和發展了學生靈活的思維.圖片的展示，活躍了課堂，調動了積極性，滲透了愛國、愛家的思想教育，符合新課標、新理念.

（四）回顧全課，談談收獲

設計意圖：讓學生談收獲的過程，就是讓學生自我評價的過程.學生的歸納、總結、表述能力都得到了訓練.