復數概念教學的一種新設計

何嘉穎

摘 要 當前的復數概念教學現狀不甚理想，致使學生在學習時常會有障礙。本文從數的歷史和學習數的過程出發，結合以往學習數的模式，及從激發學生的認知需要考慮，給出復數概念教學的新設計。

關鍵詞 復數 概念教學 新設計

中圖分類號：G422 文獻標識碼：A

1數系的發展過程

活動一：

（1）分別從數學史及學習數的過程回顧已學數的發展過程，同時體會數的發展和方程之間的聯系。

（2）從數學史體會數的進一步發展。由于在實際生產中經常出現三次方程，出于解決實際問題的需要。人們不斷探索三次方程的求根公式。在16世紀，卡當給出了三次方程的求根公式。然而，在用求根公式解三次方程時，卡當遇到了一個棘手的問題，進而得到讓人覺得”荒唐”的結論。那么卡丹遇到了什么問題？

2復數概念的構建

2.1數與方程的關系

活動二：從活動1發現數的發展和方程之間有著密切的聯系。求解方程：，，。

分析：引導學生完成下表

求解方程有兩種方法：猜測驗證法和公式法。在前兩個方程求解中兩種方法都得到相同的答案。然而，在第三個方程的求解中，兩種方法得到的結果不一樣。使用求根公式后方程無解，這個就是卡當得到三次方程求根公式后遇到的致命問題。

活動三：

為什么會出現這種情況呢？

分析：結合《推理與證明》的知識，分析出現這種情況的原因。猜測1：兩種求解三次方程的方法都是錯誤的。（用猜測驗證法得出的解一定是正確的， 排除猜測1）。

猜測2：使用求根公式時，出現了人為錯誤，如公式抄錯、運算錯誤（經多次驗證及復查，排除猜測2）。

猜測3：卡當所給出的求根公式有錯（把求根公式帶入三次方程后方程成立，排除猜測3）。

猜測4：推究方程從有解到無解的原因是出現了，由平方根中的數是非負的，進而使得方程無解。

卡當對問題的發現及解決。

在排除各種情況后，為求解方程，卡當做出了一個”荒唐”的決定，承認平方根中的數可以是負數。經運算，此時得到的解就和用猜測驗證方法得到一樣。

2.2平方根中的數可以是負數的的思考

活動四：從活動3可看到承認平方根中的數可以是負數勢在必行。這和以前學習的知識有所沖突！我們來討論這兩個問題：

（1）在以前的學習中，為什么平方根中的數不可以是負數？

（2）當平方根中的數可以是負數時，如，這樣的數是實數嗎？如果不是，它是什么呢？

分析：

（1）回歸定義，就有，由實數的平方非負，有。

（2）由“，有”的否定是“，有”。因此，這樣的數不是實數，而是存在于實數系之外的數。如。

2.3虛數單位的引入與純虛數的構建

活動五：從活動4發現，這些數屬于實數系之外。實數系之外有多少這樣的數？

分析：類似于，還有，；，等大量的例子。可以發現，，即是這類屬數的最基本單位。為寫法便利，歐拉引入了符號來簡單表示，此時，。所以，這些數均可簡單寫為，。

由于當時的人們無法從現實中找到實際事物表示這些數，所以人們認為它們是虛無縹緲的。因此，稱i稱為虛數單位，稱，為純虛數。

2.4虛數的構建

活動六：在活動5中，找到了實數系之外的一類數，純虛數。除純虛數外，還有其他屬于實數系之外的數嗎？

分析：我們繼續從方程入手，在之前求解二次方程時，遇到△<0的情況我們便不再求解。如，x2+x+1=0，△=4<0。結合新學習的內容，可對方程解得x = = = €保勻徊皇鞘凳蛭鰨？，方程無實數解。因此€幣彩鞘凳抵獾氖植煌詿啃槭R虼耍丫哂行問絘+b（a，b，a，b≠0）的數稱為非純虛數。

2.5復數系的構建以及數系擴充

活動七：現在我們所學的數大大的增多了，除實數外，還有純虛數及非純虛數。數學家通過方程對數系的擴充先告一段落。當然數系的擴充還沒有終止，除實數、純虛數及非純虛數外，還有其他數，但這將在更高深的數學中學習。現在，我們先提供一個更大的數系來包含實數、純虛數以及非純虛數，這個數系就是復數系。

分析：我們把純虛數以及非純虛數稱為虛數，虛數的形式是a+b（a，b，b≠0）。然后把虛數和實數統稱為復數，復數的形式是a+b（a，b）。

3結語

設計的優點有：從數的發展和學習數的過程引入；結合方程求解學習新知，如，求解三次方程，造成學生認知沖突；參考實數概念學習的模式，使學生進行新知的構建。