“功能固著”對運用數(shù)學(xué)思想解題的困惑
——高三期末檢測試卷講評課片段實錄

廣東省深圳市第二實驗學(xué)校 黃 云

一、問題的提出

“功能固著”是一類思維定勢。就是當一個人熟悉了某種物體的常用或典型的功能后，就很難看出該物體所具有的其他潛在的功能。當需要利用某一物體的潛在功能來解決問題時，“功能固著”可能起到阻礙的作用。“功能固著”給學(xué)生在運用數(shù)學(xué)思想解題帶來的主要影響有：函數(shù)與方程的不等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)換與化歸出現(xiàn)缺漏，數(shù)形結(jié)合出現(xiàn)偏差等。幫助學(xué)生消除“功能固著”心理，為更好地運用數(shù)學(xué)思想解題提供幫助。

二、困惑及成因分析

（一）運用函數(shù)與方程思想出現(xiàn)的困惑

在利用函數(shù)與方程思想時，學(xué)生不能將函數(shù)與方程（不等式）有機地聯(lián)系起來綜合考慮問題，受“功能固著”心理的影響，即便想到了函數(shù)與方程的結(jié)合，有時也不能簡潔和完整的實施兩者的等價轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致解題過程中思維受阻、無功而返或是出現(xiàn)不該出現(xiàn)的低級錯誤。

1.函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程問題不等價導(dǎo)致困惑

例1.已知函數(shù)若函數(shù)在上的值域是求實數(shù)m的取值范圍。

困惑1：發(fā)現(xiàn)當x>0時，函數(shù)為增函數(shù)，后續(xù)沒有了思路。

困惑2：將a,b看成方程的兩個大于2的不等實數(shù)根，再對m>0和m<0來討論一元二次方程的根，由于過程繁雜，無力繼續(xù)，半途而廢。

困惑3：就將a,b看作方程也即化簡得的兩個不等實數(shù)根，由解得答案不完備。

成因分析：困惑1屬于知識結(jié)構(gòu)不完整所造成的。要想辦法將問題實施轉(zhuǎn)化，構(gòu)建關(guān)于m的不等式。困惑2屬于不等價轉(zhuǎn)換造成的。沒有將a,b看作是方程的兩個大于2的不等實根，忽視了函數(shù)的定義域；困惑3的產(chǎn)生是因為忽視了函數(shù)的值域。缺失對條件的挖掘，沒能得出隱含條件m>0，導(dǎo)致討論復(fù)雜化，沒能求出實數(shù)的取值范圍。 事實上，當x>0時，函數(shù)為增函數(shù)，a,b可以看作方程的兩個不相等且大于2的實數(shù)根，由二次函數(shù)的零點的分布，令通過挖掘隱含條件得m>0，所以只需考慮一種情況m>0。當m>0時，易得即為所求。

2.方程問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題不等價導(dǎo)致困惑

例2.已知直線和雙曲線的左支交于A,B兩點，直線l過點和線段AB的中點M，求l在y軸上的截距b的取值范圍。

困惑1：聯(lián)立方程，利用中點坐標公式及由P，M均在直線上l，從而寫出直線l的兩點式方程并令x=0得l在y軸上的截距也可利用三點共線求得b，后續(xù)不知如何轉(zhuǎn)化求解，到此而終。

困惑2：求得b后，

困惑3：求的最值，考慮定義域，即k的范圍。由方程求得求得錯誤答案

成因分析：困惑1屬于求解二次函數(shù)值域的方法不熟而受阻；困惑2沒有考慮的定義域；困惑3面對于缺失考慮了為分母，沒有去掉的情況導(dǎo)致錯誤。事實上，當求得時，還要兼顧為分母，剔除=0的情形，這樣就能很容易獲得正確的答案：b>2或

（二）運用轉(zhuǎn)換與化歸思想出現(xiàn)的困惑

利用轉(zhuǎn)換與化歸的思想可以化抽象為具體、化運動為靜止、化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉，從而起到優(yōu)化解題過程促進思維發(fā)展的作用。轉(zhuǎn)換與化歸也包括數(shù)學(xué)語言（文字語言、符號語言、圖形語言）的相互轉(zhuǎn)換，要剔除“功能固著”的影響，防止出現(xiàn)缺漏。

1.找不到轉(zhuǎn)化點導(dǎo)致的困惑

例3.已知數(shù)列滿足：

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足：求數(shù)列的通項公式。

困惑1：熟悉求通項問題不知如何入手。

困惑2：由兩式相減得的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是公差為4的等差數(shù)列，但后續(xù)求解作罷。

困惑3：利用條件來求bn，似曾相識，沒有找到轉(zhuǎn)化方法；采用“歸—猜—證”的方法，沒有找到規(guī)律，沒能求出的通項公式。

困惑4：求得后將其代入得再用n-1替換上式的n，兩式相減得，答案不全。

成因分析：困惑1屬于思維受阻。無法實現(xiàn)轉(zhuǎn)化；困惑2需要加強分類討論的訓(xùn)練；困惑3 由與兩式作差求bn，最快捷的辦法，要注意否則會出錯。事實上，（Ⅰ）法一：直接對進行配湊；法二：對分奇偶討論；法三：采用“歸—猜—證”，都可求得解答（Ⅱ）的思路有：其一，用n-1替換n兩式相減，注意n≥2。 其二，采用“歸—猜—證”求bn，排除后b1=7，從b2開始找規(guī)律，很快獲得答案。

2.找不到化歸點導(dǎo)致的困惑

例4.設(shè)函數(shù)上至少存在一個零點，求的最小值。

困惑1：至少存在一個式成立，即在上至少有一個實數(shù)根，對a>0和a<0討論來確定a,b再求的最小值。難以進行。

困惑2：將方程改寫為轉(zhuǎn)換角度看問題，即為原點O到點直線上任意點找不到轉(zhuǎn)化路徑。

成因分析：困惑1沒有將問題實施有效的轉(zhuǎn)換，需要加強對問題的化歸轉(zhuǎn)換能力的培養(yǎng)。 困惑2能成功地將問題實施了有效的轉(zhuǎn)化，變換主元將二次方程化歸成了一次方程，很有價值！但后續(xù)沒能找到如何將轉(zhuǎn)化為的函數(shù)的路徑。事實上，為原點O到點直線上任意的距離，如圖1所示過原點O作直線的垂線，垂足為Q,有轉(zhuǎn)化為t函數(shù)，所以因為需求最小值即可。兩種基本方法：其一，求導(dǎo)；其二，對換元轉(zhuǎn)化，都可求得

（三）運用數(shù)形結(jié)合的思想的困惑

數(shù)形結(jié)合包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。利用這一思想能使問題直觀化。 受“功能固著”的影響，許多學(xué)生在“以形助數(shù)”中，容易出現(xiàn)對應(yīng)的圖形不全面、不精確、不等價而導(dǎo)致困惑；而在“以數(shù)解形”中，會在設(shè)置數(shù)量關(guān)系構(gòu)建代數(shù)模型上產(chǎn)生困惑。

1.“以形助數(shù)”的不完備出現(xiàn)困惑

例5．記集合

Q =表示的平面區(qū)域P分別為區(qū)域Q和區(qū)域，表示的平面區(qū)域為區(qū)域M,若向區(qū)域Q內(nèi)撒一枚幸運小花朵，則花朵落在區(qū)域M內(nèi)的概率為_________。

困惑：作出區(qū)域Q、P和M，作圖不完備，導(dǎo)致結(jié)果錯誤

成因分析：要能準確完備地畫出P和Q所表示的區(qū)域,如圖2所示，表示的平面區(qū)域M為圖中陰影部分，根據(jù)對稱性，求得概率是

2.“以數(shù)解形”的不純粹出現(xiàn)困惑

例略。

三、感悟與體會

在利用數(shù)學(xué)思想解題過程中，教師要幫助學(xué)生消除解題過程中產(chǎn)生“功能固著”心理的不利影響，培植正確使用數(shù)學(xué)思想解題的能力。要讓學(xué)生明白：函數(shù)與方程問題要扣住“兩個優(yōu)先”即函數(shù)定義域優(yōu)先和方程根的范圍優(yōu)先考慮。在使用轉(zhuǎn)換與化歸思想解題時，要讓學(xué)生清楚：轉(zhuǎn)化的目標是什么？謹防轉(zhuǎn)化缺漏。在實施數(shù)形結(jié)合過程中，要確保數(shù)形互化的完備性和純粹性。在教學(xué)中重視數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng)，是提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵之所在。