回到數(shù)學(xué)本身：讓兒童在思考中學(xué)習(xí)（下）

劉瑋

【摘要】數(shù)學(xué)是面向“思”的學(xué)科，思維是數(shù)學(xué)的靈魂。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，營設(shè)發(fā)散思維空間，整體建構(gòu)思維過程，呈現(xiàn)問題思辨經(jīng)歷，養(yǎng)成思疑證惑的習(xí)慣，是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的本質(zhì)要求，也是在學(xué)科教學(xué)中培養(yǎng)理性思維、批判質(zhì)疑等核心素養(yǎng)的應(yīng)然選擇。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思考 核心素養(yǎng) 思維 教學(xué)策略

（接2017年第4期）

2.整體建構(gòu)思維過程，生長兒童的數(shù)學(xué)思考

以教學(xué)《用字母表示數(shù)》為例，課始，教師通過招領(lǐng)啟事引出“字母可以表示數(shù)”，接著順次引導(dǎo)學(xué)生展開對“所有的字母都可以表示數(shù)、字母可以表示已知的數(shù)、字母可以表示未知的數(shù)、含有字母的式子可以表示數(shù)、含有字母的式子還可以表示數(shù)量關(guān)系”的探索。從具體的數(shù)，到用字母表示數(shù)，再到含有字母的代數(shù)式，是學(xué)生思維從一個個具體的點(diǎn)向知識的面匯聚的過程，也是學(xué)生思維從具象向抽象生長的過程。

（1）前孕伏，將抽象的問題具體化

課前環(huán)節(jié)，教師和學(xué)生一起玩撲克24點(diǎn)游戲（A、2、3、4；4、8、10、Q），問學(xué)生：你們是怎么算出來的？引入環(huán)節(jié)，出示失物招領(lǐng)啟事，啟發(fā)學(xué)生思考“A”表示什么、為什么用“A”表示等問題。

招領(lǐng)啟事

本人今天在公園拱橋處撿到一個黑色提包，內(nèi)有現(xiàn)金A元，請失主到景區(qū)派出所認(rèn)領(lǐng)。

張先生

2016.8.16

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是讓兒童知曉生活中用字母表示數(shù)的實(shí)踐應(yīng)用，并在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義，體會用字母表示數(shù)的必要性。

（2）中建構(gòu)，將零碎的問題系統(tǒng)化

建構(gòu)一：圍繞A可以表示丟失的金額，教師拋出問題：“A可以表示丟失的金額，B、C、Y等可不可以？”在討論中，學(xué)生得出“所有的字母都可表示數(shù)”的結(jié)論。

建構(gòu)二：圍繞丟失的金額，教師又拋出問題：“這里的A表示的金額，真的沒有人知道嗎？誰知道？誰不知道？”通過討論，學(xué)生得出“字母可以表示未知數(shù)，也可以表示已知的數(shù)”的結(jié)論。

建構(gòu)三：出示探究題：無錫到南昌鐵路全長769千米，一列火車從無錫開往南昌，你能用式子表示行駛了一段路程后剩下的千米數(shù)嗎？

已經(jīng)行駛了60千米，剩下的千米數(shù)是769-60；

已經(jīng)行駛了150千米，剩下的千米數(shù)是769-（ ）；

已經(jīng)行駛了b千米，剩下的千米數(shù)是（ ）。

在學(xué)生說出“剩下的千米數(shù)是769-b”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出“不僅是字母可以表示數(shù)，含有字母的式子也可以表示數(shù)”的結(jié)論。其中，教師還設(shè)計(jì)了“769-b式子中b的取值范圍”的討論，蘊(yùn)含了函數(shù)定義域思想的滲透，學(xué)生對“符號化”的理解在深入探究中走向主動建構(gòu)。

（3）后拓展，進(jìn)一步將“用字母表示數(shù)”深度數(shù)學(xué)化

教師先出示果汁分倒的情境圖，如下圖。

一含有字母的等式即是描述客觀現(xiàn)象相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，亦即方程。此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)既是教學(xué)用字母表示數(shù)的深化，也是加深列方程解答實(shí)際問題的本初體驗(yàn)，是下一階段教學(xué)列方程解決實(shí)際問題的鋪墊。

這一課的教學(xué)，教師沒有糾結(jié)于用字母表示數(shù)方法上的學(xué)習(xí)，更多的是轉(zhuǎn)向?qū)τ米帜副硎緮?shù)關(guān)系的探討。教學(xué)中著力于使學(xué)生充分感受到符號及符號化的便利，并及早孕伏代數(shù)的思想方法，意在消弭中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之間的裂隙，加強(qiáng)小學(xué)初中兩個學(xué)段之間數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。在“字母可以表示數(shù)、所有的字母都可以表示數(shù)、字母可以表示已知的數(shù)、字母也可以表示未知的數(shù)、含有字母的式子可以表示數(shù)、含有字母的式子還可以表示數(shù)量關(guān)系”一系列點(diǎn)狀問題的探討中，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從具體的數(shù)到用字母表示數(shù)、再到含有字母的代數(shù)式的數(shù)學(xué)化過程，正是在一次次這樣的經(jīng)歷中，兒童的數(shù)學(xué)思考由點(diǎn)到面不斷生長，思維能力不斷提高。

3.呈現(xiàn)問題思辨經(jīng)歷，深化兒童的數(shù)學(xué)思考

柏拉圖說：“我們應(yīng)該區(qū)分兩種不同的存在——經(jīng)驗(yàn)的存在和理性的存在。經(jīng)驗(yàn)的存在是有缺陷的，理性的存在才是完美的。”可在我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常見到經(jīng)驗(yàn)對理性的干擾和遮蔽現(xiàn)象。以《三角形穩(wěn)定性》的教學(xué)為例，教材上對三角形穩(wěn)定性的定義，是指三角形在外力的作用下，三角形具有形狀和大小都不易變化的性質(zhì)，即保持相對穩(wěn)定的原有狀態(tài)。但在筆者所聽的30余節(jié)《三角形穩(wěn)定性》課堂教學(xué)中，教師們無一例外地以“看能否拉得動”的經(jīng)驗(yàn)來引領(lǐng)學(xué)生對三角形穩(wěn)定性的理解和認(rèn)知，這種缺乏對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)探索的教學(xué)假象不斷弱化著兒童數(shù)學(xué)思考的深刻性和理性。

事實(shí)上，如果我們用同樣的木質(zhì)材料分別制作一個三角形和一個四邊形器具，其相鄰兩邊相交處是可動的。先來引導(dǎo)學(xué)生拉扯三角形學(xué)具，學(xué)生容易從中得到三角形穩(wěn)定性的理解。接著讓學(xué)生去拉四邊形學(xué)具，學(xué)生們由“四邊形可以拉動”得出“四邊形不具有穩(wěn)定性”的認(rèn)知理解。一般來講，課至此處，已近目標(biāo)。但就對知識的理性思考來講，尚遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。在教學(xué)中，我又帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了深入的探究。

在學(xué)生們操作感知兩邊相交點(diǎn)可以動的三角形和四邊形學(xué)具后，我又出示了用鐵質(zhì)材料焊接兩邊相交處不可以動的四邊形學(xué)具，再讓學(xué)生們動手拉。

師：這個四邊形拉得動？

生：拉不動。

師：拉不動，難道四邊形也具有穩(wěn)定性？

生：（疑惑不解）為什么有的拉得動，有的拉不動呢？

師：看來拉得動和拉不動并不是判斷某種圖形是否具有穩(wěn)定性的根據(jù)。學(xué)生們，我們換一種方式去探討“三角形穩(wěn)定性”好嗎？

生：什么方法？

師：請你先用老師給你的學(xué)具小棒擺一個三角形和一個四邊形，然后再用同樣的小棒擺一擺，最后我們看一看、比一比，同樣的小棒能不能擺出不同形狀的三角形和四邊形？

在三輪操作中，學(xué)生們對“三角形穩(wěn)定性”的認(rèn)識由淺入深。此中，他們不斷去除三角形穩(wěn)定性的非本質(zhì)認(rèn)識，漸趨接近對三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)理解。在無疑處生疑，在疑生處探疑。通過操作、比較、交流，學(xué)生們終于明白三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)指的是形狀和大小的唯一。三輪操作，學(xué)生們經(jīng)歷了對規(guī)律的初步認(rèn)知、對規(guī)律的懷疑、對規(guī)律本質(zhì)的再認(rèn)識三個階段，此中的認(rèn)知沖突、操作體驗(yàn)，不斷促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)思考走向深刻與理性。作為教師，我們需要走出自我營設(shè)的經(jīng)驗(yàn)世界，及時(shí)發(fā)現(xiàn)原有經(jīng)驗(yàn)對兒童數(shù)學(xué)思考的干擾與束縛，由淺入深，突破表層，引領(lǐng)兒童發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，把兒童帶入深刻而又理性思考的數(shù)學(xué)完美世界中。

4.養(yǎng)成思疑證惑習(xí)慣，優(yōu)化兒童的數(shù)學(xué)思考

德國哲學(xué)家伽達(dá)默爾曾說過，視界是理解的起點(diǎn)、角度和可能的前景。兒童的數(shù)學(xué)視界亦是如此，它總是在不斷的變化與形成過程中與周遭發(fā)生著聯(lián)系與交融。實(shí)踐告訴我們，兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程一頭連著個體內(nèi)在已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，一頭連著兒童外在的可能觸摸到的視界。在兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，如果兒童處于憑借自己思考不能解決遭遇的問題時(shí)，我們就需要引領(lǐng)兒童在動手實(shí)踐中去“做數(shù)學(xué)”，從而實(shí)現(xiàn)動手實(shí)踐與數(shù)學(xué)思考共生的“視界融合”。

人教版數(shù)學(xué)五年級下冊第37頁，有這樣一道題目：“茶廠工人要將長、寬各為20cm，高為10cm的長方體茶盒裝入棱長為30cm的正方體紙箱，最多能裝幾盒？怎樣才能裝下？”

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生從已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，遭遇了問題解決的困境。

師：學(xué)生們，這道題我們怎么去解答呢？

生1：先算出大紙箱的體積，再算出茶盒的體積，兩者相除。列式為30×30×30÷（20×20×10）=6……3000，所以說大約能裝6盒。

生2：我也是這樣想的，但我想不出來怎么把6個茶盒放進(jìn)去。也許6盒是放不進(jìn)去的。

生3：只能放5個茶盒。我是用畫圖的方法，6盒放不下。

師：同學(xué)們的意見不相同嗎？用計(jì)算的方法可以知道放6盒還有剩余的空間，但是有的同學(xué)用畫圖的方法，好像又放不進(jìn)去。究竟能放幾個茶盒？有人說放5個茶盒，可大紙箱27000立方厘米，5個茶盒共20000立方厘米，余下7000立方厘米，難道真的放不下一個4000立方厘米的茶盒了嗎？

眾生：爭執(zhí)不休。

可以說，此時(shí)的學(xué)生正在自己已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)里思考，即便是對通過計(jì)算得出的答案也開始了懷疑。當(dāng)空間想象式的思考不能解決面臨的問題時(shí)，我們需要把學(xué)生的思維引入另外一個視界，即實(shí)踐視界。

師：學(xué)生們，對于這道題，大家的意見不能統(tǒng)一，那我們就去動手研究。今天回家的作業(yè)就是每人做一個與題目中相同尺寸的紙箱和茶盒，然后親手?jǐn)[一擺，看一看能放幾個這樣的茶盒。

第二天的數(shù)學(xué)課上，教師讓學(xué)生們交流大家的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生們通過實(shí)踐操作，得到了“紙箱最多可放6個茶盒”的結(jié)論。如圖：

[10][10][20][10][20][10][20][20][10][20][20][20][10][20][10][10][①][⑥][④][③][②][空][空]

當(dāng)兒童的數(shù)學(xué)思考遭遇阻礙時(shí)，教師需要相機(jī)轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，把學(xué)生從自我內(nèi)在的視界引向現(xiàn)實(shí)外在的視界，在開放的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中引領(lǐng)兒童開展積極而有價(jià)值的思維探索。唯有如此，兒童數(shù)學(xué)才能走出狹隘、封閉、守舊的教學(xué)范式，從而在開放而又富有探索意味的教學(xué)過程中優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。因?yàn)榻虒W(xué)空間的開放，因?yàn)橛袑栴}答案的質(zhì)疑，因?yàn)橛袑栴}的實(shí)踐驗(yàn)證，兒童的數(shù)學(xué)思考由此走向深刻，走向理性。?

【參考文獻(xiàn)】

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注：[基金項(xiàng)目]江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年重點(diǎn)課題B-b/2015/02/2014《構(gòu)建“童本數(shù)學(xué)”課堂的實(shí)踐研究》。