追根溯源探解法變式推廣覓思路
——一道模擬題的解法及啟示

楊 虎●

追根溯源探解法變式推廣覓思路
——一道模擬題的解法及啟示

甘肅省禮縣職業中等專業學校(742200)

楊 虎●

三角函數這一部分的知識在高中數學教學中占有極其重要的地位，高考中更是考查的熱點.在指導學生學習時，一道三角函數的證明題引起筆者的學習興趣，追根究底對其源頭、解法進行了探究，并對其變式進行思考、推廣，來尋覓這一類問題的解題思路.

一、題目展現及題源探究

這是一道以三角函數為背景的證明題.其等式左邊的分子與分母是角α，3α與5α的正、余弦的和，右邊是3a角的正切值，形式優美，和諧簡潔.追根究底，在進一步學習時筆者發現，1986年的一道高考(文科)數學題與此題極為相似.

將近三十年的一道陳題，又變換了形式出現在學生的模擬題中，體現了數學考試還是萬變不離其宗，也可以看成是問題1的題源，其證法也很多.下面筆者以問題1為例進行探索，并對后續教學進行反思.

二、解法探索

探索一：順水推舟 自然得證

證明題最自然的解法也就是從左往右證(或從右往左證)——順水推舟，即把等式左邊經過化簡、變形而得到右邊的式子，考慮到右邊是3α角的正切值，所以左邊在化簡時應保留3α角，將α角與5α角進行組合、變形，產生3α角，向右邊靠攏，自然得證.需要說明的是，等式左邊應用和差化積時，必須是一次同名三角函數方可實行.若是異名，必須用誘導公式化為同名.

探索二：層層遞進 分析證法

探索三：無中生有 添加項法

探索四：正難則反 歸謬得證

探索五：巧設參數 等比助力

三、變式探究

在以上的探索中不難體會到，這一類問題證法多樣，但其基本的思路或者說最有效的方法還是從右到左——自然得證與分析證法.下面利用自然證法證明此變式題.

四、三個推廣

基于以上的解法探索與變式探究，進行如下的三個推廣：

五、兩點教學啟示

啟示1：在教學與學生學習過程中嘗試一題多解.

一題多解可以理解為從不同的角度對一道習題進行解答，在教學過程中與學生學習過程中實施一題多解，首先有利于調動學生學習的積極性.通過教師的引導，學生可能會對一道題給出不同的解法，讓課堂成為學生探究、交流的場所，讓課堂不僅有預設更有生成，突出了以學生為主體的課標理念，提高了學生的學習興趣.其次有利于培養學生的創新思維，鍛煉思維的靈活性.在尋求問題的解法中，學生通過對比、探索，能夠發現更簡捷、更有效的解題方法，拓展了學生的創新思維.再次有利于學生積累解題經驗，豐富解題方法，從而達到提高解題能力的目的.

啟示2：在教學與學生學習過程中嘗試變式及推廣.

如何讓課堂成為高效的課堂是中學數學教學研究和改革的重要課題，而應試教育不可避免地帶來了教學中的“題海戰術”，這無疑加大了學生學習的負擔，甚至讓學生厭學.那么在教學中引導學生對一個知識點、對一道習題，不僅從多角度去探索，更要研究其可能的變式，舉一反三并加以推廣，觸類旁通，深入挖掘知識點、習題中蘊含的變式創新因素，培養學生的求異思維，創新能力，提高應變能力讓課堂教學成為真正的高效課堂.

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1008-0333(2017)01-0012-02