不等式中的“恒成立”和“存在性”問題及其解題策略

浙江省余姚市職業技術學校(315400) 何國堅

不等式中的“恒成立”和“存在性”問題及其解題策略

浙江省余姚市職業技術學校(315400) 何國堅

含參數不等式恒成立問題和存在性問題是近幾年高考的一個熱門題型,而且常考常新,此類問題因其較強的邏輯性和靈活性,成為學生學習上的又一難點．筆者利用數形結合思想,就此類問題作一分類解析,希望能拋磚引玉,對大家有所幫助．

1 單變量型不等式問題

結論1設函數f(x)、g(x)在區間[a,b]上有意義,則對于?x∈[a,b],不等式f(x)＞g(x)恒成立的等價條件是[f(x)?g(x)]min＞0．

圖1

證明如圖1所示,對于?x∈[a,b],f(x)＞g(x)恒成立,等價于函數y=f(x)的圖像恒在函數y=g(x)的圖像上方,即對于?x∈[a,b],f(x)?g(x)＞0恒成立,所以只須[f(x)?g(x)]min＞0．

例1 設f(x)=ex,g(x)=lnx+m,對于?x∈[1,2],求不等式f(x)＞g(x)恒成立的的取值范圍?

解F(x)=f(x)?g(x)=ex?(lnx+m),F′(x)=當x∈[1,2]時,F′(x)＞0,故F(x)在區間[1,2]上是增函數,要使f(x)＞g(x)恒成立,只須F(x)min=F(1)=e?(ln1+m)＞0,所以m＜e．

圖2

結論2設函數f(x)、g(x)在區間 [a,b]上有意義,?x∈[a,b],使不等式f(x)＞g(x)成立的等價條件是[f(x)?g(x)]max＞0．

證明如圖2所示,?x∈[a,b],使不等式f(x)＞g(x)成立,只須?x∈[a,b],f(x)?g(x)＞0成立,所以只要[f(x)?g(x)]max＞0．

例2設f(x)=ex,g(x)=lnx+m,?x∈[1,2],不等式f(x)＞g(x)成立,求m的取值范圍?

解F(x)=f(x)?g(x)=ex?(lnx+m),F′(x)=當x∈[1,2]時,F′(x)＞0,故F(x)在區間[1,2]上是增函數,要使f(x)＞g(x)成立,只須F(x)max=F(2)=e2?(ln2+m)＞0,所以m＜e2?ln2．

2 雙變量型不等式問題

結論3設函數f(x)在區間[a,b]上有意義,函數g(x)在區間[c,d]上有意義,對于?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],不等式f(x1)＞g(x2)恒成立的等價條件是f(x)min＞g(x)max．

圖3

證明如圖3所示,對于?x1[a,b],?x2∈[c,d],要使不等式f(x1)＞g(x2)恒成立,只須函數y=f(x)圖像的最低點在函數y=g(x)圖像最高點上方,所以只須f(x)min＞g(x)max．

①當0＜a＜1時,f′(x)＞0,所以f(x)在[1,e]單調遞增,因此f(x)min=f(1)=a2+1,令a2+1≥e+1,得這與0＜a＜1矛盾．

結論4設函數f(x)在區間[a,b]上有意義,函數g(x)在區間[c,d]上有意義,對于?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],不等式f(x1)＞g(x2)成立的等價條件是f(x)min＞g(x)min．

圖4

證明如圖4所示,對于?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],不等式f(x1)＞g(x2)成立,只須函數圖像最低點在函數的圖像最低點的上方,所以只須f(x)min＞g(x)min．

例4 設若對?x1∈[0,1],?x2∈[1,2],使f(x1)＞g(x2)成立,求實數a的取值范圍．

解f(x)min=f(0)=?1,當a≥2時,g(x)在[1,2]上的最小值為g(2)=8?4a,所以只要g(2)=8?4a≤?1,即當a≤1時,g(x)在[1,2]上的最小值為g(1)=5?2a,只要g(1)=5?2a≤?1,所以不存在這樣的實數a;當1＜a＜2時,g(x)在[1,2]上的最小值為g(a)=4?a2,只要4?a2≤?1,所以不存在這樣的實數a;綜上知實數a的取值范圍是

結論5設函數f(x)在區間[a,b]上有意義,函數g(x)在區間[c,d]上有意義,?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],不等式f(x1)＞g(x2)成立的等價條件是f(x)max＞g(x)max．

圖5

證明如圖 5所示,?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],要使f(x1)＞g(x2)成立,只要函數圖像的最高點在函數的圖像最高點上方,即f(x)max＞g(x)max．

例5已知函數f(x)=x2?4x+2,g(x)=lnx+ax,若?x1∈[0,1],?x2∈(0,+∞),使得f(x1)＞g(x2),求實數的取值范圍?

結論6設函數f(x)在區間[a,b]上有意義,函數g(x)在區間[c,d]上有意義,?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],使不等式f(x1)＞g(x2)成立的等價條件是f(x)max＞g(x)min．

圖6

證明如圖 6所示,?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],要使f(x1)＞g(x2)成立,只須函數y=f(x)圖像的最高點在函數y=g(x)圖像的最低點上方,則一定能找到x1,x2,使得f(x1)＞g(x2),所以只須f(x)max＞g(x)min．

例6 設f(x)=lnx+ax,g(x)=x2?4x+2,若?x1∈(0,+∞),?x2∈[0,1],不等式f(x1)＞g(x2)恒成立,求實數a的取值范圍．

總之,無論是單變量型不等式中的恒成立問題和存在性問題,還是雙變量型不等式中的恒成立問題和存在性問題,其主要的解題策略都是利用轉化思想,把恒成立問題和存在性問題轉化為函數最值問題,根據相應最值的不等關系加以解決.

[1]邵春霞.從一道高考題談含參不等式的解題策略[J].中學數學, 2012(4),92-93.

[2]高雄康.任意性和存在性問題的破解途徑[J].數理化解題研究, 2011,1.