安徽省靈璧師范學(xué)校(234200) 王訓(xùn)成 陳偉

淺談數(shù)學(xué)思想方法在不等式中的應(yīng)用

安徽省靈璧師范學(xué)校(234200) 王訓(xùn)成 陳偉

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí),是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn),它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用、帶有普遍的指導(dǎo)意義,是建立數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想.數(shù)學(xué)方法是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下,為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)提供具體的實(shí)施手段,是數(shù)學(xué)地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題過(guò)程中所采用的各種方式、手段、途徑等.數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式,實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的,差別只是站在不同的角度看問(wèn)題,通常混稱為“數(shù)學(xué)思想方法”.常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有:函數(shù)與方程、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等.

數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用,本文結(jié)合具體的不等式,談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法在不等式中的一些應(yīng)用.

方法一 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題.方程思想是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手,運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),然后通過(guò)解方程(組)或不等式(組)解決問(wèn)題.

應(yīng)用函數(shù)與方程的思想解決不等式問(wèn)題的基本思路是:根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù)和方程的問(wèn)題,通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決解不等式或證明不等式.如解一元二次不等式的基本思路就是典型的函數(shù)與方程思想的具體體現(xiàn).

例1 已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c＞0,ab+bc+ca＞0,abc＞0.求證:a＞0,b＞0,c＞0.

分析本題是“兩個(gè)數(shù)和為正數(shù),且這兩個(gè)數(shù)積也為正數(shù),則這兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)”的推廣,直接證明很困難,轉(zhuǎn)化成三次函數(shù)問(wèn)題,利用函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、方程的根來(lái)解決此問(wèn)題則比較簡(jiǎn)單.

證明構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x+a)(x+b)(x+c),則f(x)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc,由于a+b+c＞0,ab+bc+ca＞0,abc＞0,所以函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),所以當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞f(0)=abc＞0,所以函數(shù)f(x)沒(méi)有大于或等于0的零點(diǎn),即方程f(x)=0沒(méi)有大于或等于0的根.又因?yàn)榉匠蘤(x)=0有三個(gè)根:?a、?b,?c,所以這三個(gè)根都小于0,即?a＜0、?b＜0,?c＜0,所以a＞0、b＞0,c＞0.

點(diǎn)撥本題是關(guān)于三個(gè)變量的不等式問(wèn)題,通過(guò)再引入一個(gè)變量轉(zhuǎn)化成三次函數(shù)問(wèn)題,充分利用函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)、方程根等解決三個(gè)變量的取值范圍問(wèn)題.

例2已知實(shí)數(shù)a,b、c滿足a+b+c=1,a2+b2+c2=1,若a＞b＞c,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

分析求取值范圍問(wèn)題,實(shí)際也可以納入不等式問(wèn)題.這也是涉及三個(gè)變量問(wèn)題,直接求解很難解決,這里是通過(guò)引入二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.

解由于a+b+c=1,a+b=1?c,兩邊平方得a2+b2+2ab=1?2c+c2,再由a2+b2+c2=1則得ab=c(c?1).所以a、b是方程x2?(1?c)x+c(c?1)=0的兩個(gè)根,記函數(shù)f(x)=x2?(1?c)x+c(c?1),則a,b是函數(shù)f(x)=x2?(1?c)x+c(c?1)的零點(diǎn).因此,解得即實(shí)數(shù)c的取值范圍是

圖1

點(diǎn)撥本題關(guān)于三個(gè)變量問(wèn)題,通過(guò)簡(jiǎn)單地轉(zhuǎn)化成兩個(gè)變量結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,引入二次函數(shù),利用二次函數(shù)根的分布,解決參數(shù)的取值范圍.

例3 設(shè)0＜x＜1,0＜y＜1,0＜z＜1,求證:x(1?y)+y(1?z)+z(1?x)＜1.

分析本題關(guān)于三個(gè)變量的不等式問(wèn)題,根據(jù)要證明不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),我們選取其中一個(gè)作為主要變量,轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)類(lèi)型.

證明設(shè)函數(shù)f(x)=x(1?y)+y(1?z)+z(1?x),整理得f(x)=(1?y?z)x+(y+z?yz),f(0)=y+z?yz=y+z(1?y),f(1)=(1?y?z)+(y+z?yz)=1?yz.因?yàn)?＜x＜1,0＜y＜1、0＜z＜1,所以f(0)＜y+1?y=1,f(1)＜1,所以f(x)＜1,即x(1?y)+y(1?z)+z(1?x)＜1.

點(diǎn)撥這里用到函數(shù)f(x)=kx+b在區(qū)間[m,n]取值范圍問(wèn)題,不論k是正是負(fù)還是為零,只要f(m)＞0且f(n)＞0,則在區(qū)間[m,n]上必有f(x)＞0.

分析結(jié)合要證明的結(jié)論,考慮運(yùn)用二次函數(shù)及判別式來(lái)解決.

點(diǎn)撥本題構(gòu)造輔助函數(shù),利用二次函數(shù)恒大于0的判定條件來(lái)證明不等式,這種證題方法有一定的技巧,只能通過(guò)不斷積累、總結(jié),才可能使用.

方法二 分類(lèi)討論思想在不等式中的應(yīng)用

在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),有時(shí)會(huì)遇到多種情況,需要對(duì)各種情況加以分類(lèi),并逐類(lèi)求解,然后綜合得解,這就是分類(lèi)討論法.

分類(lèi)討論思想的基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題,通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略.分類(lèi)討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)也是一種重要的解題策略,它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法.有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性,所以在高考試題中占有重要的位置.

引起分類(lèi)討論的原因主要是以下幾個(gè)方面:

(1)問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類(lèi)進(jìn)行定義的.如|a|的定義分a＞0,a=0,a＜0三種情況.這種分類(lèi)討論題型可以稱為概念型.

(2)問(wèn)題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制,或者是分類(lèi)給出的.如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式,公比分q=1和q≠1兩種情況.這種分類(lèi)討論題型可以稱為性質(zhì)型.

(3)在解含有參數(shù)的不等式時(shí),往往要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論.常用的討論有以下幾種情況:①不等式兩邊同乘(或除)以含參數(shù)的式子時(shí),若此時(shí)的符號(hào)不確定時(shí)需要進(jìn)行討論;②解整式不等式時(shí),若整式各因式的根中有參數(shù),比較各根大小時(shí)需要進(jìn)行討論;③指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式中底數(shù)含參數(shù)時(shí)需分類(lèi)討論;④涉及集合間的包含關(guān)系,當(dāng)集合中含參數(shù)時(shí)需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.在解含參數(shù)的不等式時(shí),必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,對(duì)參數(shù)進(jìn)行完整、全面的分類(lèi)討論,必要時(shí)分層逐級(jí)進(jìn)行討論.這種分類(lèi)討論題型可以稱為含參型.

另外,某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等,都要通過(guò)分類(lèi)討論,保證其完整性,使之具有確定性.

進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí),我們要遵循的原則是:分類(lèi)的對(duì)象是確定的,標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的,不遺漏、不重復(fù),科學(xué)地劃分,分清主次,不越級(jí)討論.其中最重要的一條是“不漏不重”.

解答分類(lèi)討論問(wèn)題時(shí),我們的基本方法和步驟是:首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍;其次確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),正確進(jìn)行合理分類(lèi),即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類(lèi)互斥(沒(méi)有重復(fù));再對(duì)所分類(lèi)逐步進(jìn)行討論,分級(jí)進(jìn)行,獲取階段性結(jié)果;最后進(jìn)行歸納小結(jié),綜合得出結(jié)論.

例5已知a∈R,解關(guān)于x的不等式x2?(a2+a)x+a3＞0.

分析這是一元二次不等式,直觀看其解應(yīng)該在兩根之外.

解原不等式等價(jià)于(x?a2)(x?a)＞0(注:應(yīng)該理清a與a2的大小關(guān)系)

①當(dāng)a＜0或a＞1時(shí),a＜a2,則有x＜a或x＞a2;

②當(dāng)0＜a＜1時(shí),a2＜a,則有x＜a2或x＞a;

③當(dāng)a=0或a=1時(shí),a=a2,則有x≠a.

綜上可知:當(dāng)a＜0或a＞1時(shí),原不等式的解集是(?∞,a)∪(a2,+∞);當(dāng)0＜a＜1時(shí),原不等式的解集是(?∞,a)∪(a2,+∞);當(dāng)a=0或a=1時(shí),原不等式的解集是{x∈R|x≠a}(或?qū)懗??∞,a)∪(a2,+∞)).

點(diǎn)撥解本題時(shí),將原不等式化為(x?a2)(x?a)＞0后,聯(lián)系二次函數(shù)圖像,其解應(yīng)該在兩根之外,要寫(xiě)出解集,a與a2的大小不定,故需對(duì)a進(jìn)行討論求解.

例6已知a∈R,解關(guān)于x的不等式

分析這是簡(jiǎn)單的分式不等式,先轉(zhuǎn)化為一元二次不等式,再求解.

解由題意x≠2,(x?2)2＞0,原不等式兩邊同乘以 (x?2)2得a(x+1)(x?2)≥ (x?2)2,整理得(x?2)[(a?1)x+a+2]≥0.

(1)當(dāng)a=1時(shí),3(x?2)≥0,又由x≠2,得x＞2;

點(diǎn)撥解本題時(shí),先將原不等式化為(x?2)[(a?1)x+a+2]≥0后,注意左側(cè)是關(guān)于x的二次式,聯(lián)系二次函數(shù)及圖像,應(yīng)該按二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi),其解應(yīng)該在兩根之外或兩個(gè)之間;然后再對(duì)兩根的大小進(jìn)行分類(lèi).

例7 已知a,b是互不相等的正數(shù),求證:aabb＞abba.

分析本題是正數(shù)比較大小問(wèn)題,可以用作商法證明,也可通過(guò)取對(duì)數(shù)的方法證明.

點(diǎn)撥本題是關(guān)于兩個(gè)正數(shù)的大小比較問(wèn)題,由于這兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系不能確定,因此需分類(lèi)討論.

方法三 數(shù)形結(jié)合的思想在不等式中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想是高中數(shù)學(xué)最重要的思想方法之一,是每年高考必考查的內(nèi)容,數(shù)形結(jié)合思想包含:“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面.數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)意義,又揭示其幾何直觀,使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起,充分利用這種結(jié)合,尋找解題思路,使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn),從而得到解決.“數(shù)”與“形”是一對(duì)矛盾,宇宙間萬(wàn)物無(wú)不是“數(shù)”與“形”的矛盾的統(tǒng)一.華羅庚先生說(shuō)過(guò):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬(wàn)事休”.

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí),要注意三點(diǎn):第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征,對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參,建立關(guān)系,由數(shù)思形,以形想數(shù),做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍.

某些不等式的證明問(wèn)題,來(lái)源于幾何問(wèn)題,這些問(wèn)題用代數(shù)方法解決有一定的困難,針對(duì)這個(gè)不等式特點(diǎn)構(gòu)造幾何模型,進(jìn)行求解或證明.但此類(lèi)問(wèn)題需要有較好的幾何基礎(chǔ),即熟悉幾何問(wèn)題中公式的結(jié)構(gòu)方可加以構(gòu)造,如余弦定理、兩點(diǎn)間距離公式、三角形三邊的性質(zhì)等等,都是構(gòu)造幾何模型的基礎(chǔ).

分析注意要證不等式的特點(diǎn),可以聯(lián)系到兩點(diǎn)間距離公式.

圖2

圖3

圖4

(2)用?c,?d分別代替上式中的c、d即可證明.

點(diǎn)撥本題在用幾何法解決時(shí),注意三點(diǎn)A、B,O在直角坐標(biāo)系下的相對(duì)位置關(guān)系,將所有可能的情況,一一列舉出來(lái),最后加以總結(jié).本題也可用向量方法來(lái)解決:設(shè)向量a=(a,b),b=(c,d),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|a|+|b|≥|a+b|.這就是三角形不等式.

例9已知a＞0,解關(guān)于x的不等式

分析這是無(wú)理不等式,可以利用數(shù)形結(jié)合的方法求出解集.

解作兩個(gè)函數(shù)圖像g(x)=1?x,注意前者含有參數(shù)后者是具體的,考慮與1的大小關(guān)系.

圖5

綜上可知,當(dāng)a＞2時(shí),原不等式解集為當(dāng)a=2時(shí),原不等式解集為(1,+∞);當(dāng)0＜a＜2時(shí),原不等式解集為

點(diǎn)撥結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),一側(cè)是含有參數(shù)的表達(dá)式,另一側(cè)是具體的表達(dá)式,考慮到兩者的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像之間的上下位置關(guān)系,從而借助圖像求出不等式的解.其中涉及函數(shù)與方程、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法.

例10 如果?1≤a?b≤2且2≤a+b≤4,求a,b及4a?2b的取值范圍.

分析求a,b的取值范圍可以利用不等式的基本性知得出,而求4a?2b的取值范圍利用線性規(guī)劃或整體代換的方法.

圖6

方法一線性規(guī)劃法問(wèn)題相當(dāng)于求目標(biāo)函數(shù)z=4a?2b在約束條件下的最大值與最小值.這里的變量a、b相當(dāng)于變量x,y,建立平面直角坐標(biāo)系.目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)得最小值目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C(3,1)得最大值z(mì)max=4×3?2×1=10.所以4a?2b的取值范圍是[?1,10].

方法二 整體代換法令則4a?2b=3m+n,由?1≤a?b≤2知?1≤m≤2,即?3≤3m≤6,由2≤a+b≤4知2≤n≤4,所以?1≤3m+n≤10,從而求得4a?2b的取值范圍是[?1,10].

點(diǎn)撥由于兩個(gè)變量a,b不是孤立的變量,所以不能由a,b的取值范圍直接去求4a?2b的取值范圍.

方法四 化歸與轉(zhuǎn)化思想在不等式中的應(yīng)用

化歸與轉(zhuǎn)化的思想是將不熟悉和難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問(wèn)題,將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問(wèn)題,將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,將一般性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊的問(wèn)題;將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,其目標(biāo)上使問(wèn)題更容易解決.化歸與轉(zhuǎn)化的思想細(xì)分為若干類(lèi)型,本文只談?wù)勂渲械膬煞N類(lèi)型:等價(jià)轉(zhuǎn)化和換元的思想.

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題,將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.

等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想普遍應(yīng)用在解不等式中,如解不等式一般可分為八類(lèi):一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式、無(wú)理不等式、含有絕對(duì)值的不等式、指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式.不論哪種類(lèi)型的不等式,其求解思路都是通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化把它們最終歸結(jié)為一元一次不等式(組)或一元二次不等式的求解.由于不等式的解集是無(wú)限集,因此不等式非等價(jià)轉(zhuǎn)化產(chǎn)生的增解是無(wú)法由檢驗(yàn)而予以剔除的,這就必然要求解不等式的每一步變化都是等價(jià)轉(zhuǎn)化,而這種轉(zhuǎn)化的目標(biāo)應(yīng)該是超越不等式(指數(shù)對(duì)數(shù)不等式)代數(shù)化,無(wú)理不等式有理化,分式不等式整式化,高次不等式低次化.

換元思想廣泛應(yīng)用于解方程、不等式證明及解不等式之中,換元的目的一般有兩個(gè):①為了簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)過(guò)程;②可以利用某些定理或公式的性質(zhì)去解或證明不等式.換元法只適用于一些特殊類(lèi)型的不等式,如在解無(wú)理不等式時(shí),根號(hào)內(nèi)與根號(hào)外對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)成比例,可用換元法將解無(wú)理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式.換元法把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等,把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題.

例11 已知a＞0,解關(guān)于x的不等式

分析這是無(wú)理不等式,基本思路是通過(guò)取平方轉(zhuǎn)化為有理不等式.

解原不等式等價(jià)于

點(diǎn)撥:本題是含有參數(shù)的無(wú)理不等式,除采用分類(lèi)討論外,首先應(yīng)將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式.含參數(shù)不等式是解不等式中的難點(diǎn),也是高考的熱點(diǎn).分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn),大多數(shù)情況下依“不等式組中的各不等式的解所對(duì)應(yīng)的區(qū)間的端點(diǎn)”去確定.

例12已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(b＞a＞0)在實(shí)數(shù)集R上非負(fù),求的最小值.

圖7

于是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在約束條件下的斜率問(wèn)題,就可以利用線性規(guī)劃的思想方法解得最小值為3.

點(diǎn)撥本題解題過(guò)程用到了等價(jià)轉(zhuǎn)化、換元、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.解題過(guò)程略.

例13已知曲線C:=1(a＞0,b＞0),a,b,m,n是常數(shù)且mn≠0,求mx+ny取值范圍.

分析這種題有多種解法,這里用三角換元法(即參數(shù)方程)來(lái)求解.

所以mx+ny取值范圍是:

點(diǎn)撥只要是兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和為1,就可聯(lián)想到同角三角函數(shù)基本關(guān)系中的平方關(guān)系,用三角換元法不僅起到了減少變量個(gè)數(shù)的作用,往往也可以簡(jiǎn)化要解決的問(wèn)題.

點(diǎn)撥本題是無(wú)理不等式問(wèn)題,通過(guò)換元的方法轉(zhuǎn)化成有理不等式問(wèn)題,從而求出參數(shù)的取值范圍.

其他的數(shù)學(xué)思想方法,如整體思想、歸納與演繹思想及特殊化方法等在不等式中也有廣泛的應(yīng)用,這里不列舉實(shí)例.