一道摸考選擇壓軸題的分析與探究*

安徽省太和縣太和中學(236600) 岳 峻

安徽省界首市第一中學(236500) 崔 瑋

一道摸考選擇壓軸題的分析與探究*

安徽省太和縣太和中學(236600) 岳 峻

安徽省界首市第一中學(236500) 崔 瑋

一道呈現簡潔、極富韻味的好題,凝聚了命題者的智慧,往往讓我們愛不釋手、流連忘返,其較強的啟發性、代表性、拓展性給人啟迪．合肥市2016年高三第三次教學質量檢測數學試題(理)的選擇題的壓軸題就是一道獨具匠心、意境幽深的好題,值得我們細細品味．

1.試題再現

定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞1且f(x)+f′(x)＞1,f(0)=5,其中f′(x)是f(x)的導函數,則不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x的解集為( )

A.(0,+∞) B.(?∞,0)∪(3,+∞)

C.(?∞,0)∪(0,+∞) D.(?∞,0)

2.試題的條件和待求分析

先分析題目的條件和待求．題設有三個條件:①f(x)＞1;②f(x)+f′(x)＞1;③f(0)=5．待求是:不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x的解集．

條件①顯然是待求不等式有意義的保證,條件②f(x)+f′(x)＞1是求解不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x的依托,必然是解題的關鍵信息;條件③想必與不等解集的端點值有一定的關系．

欲探求不等式的解集勢必要研究函數的單調性,而結合題設可知,判斷函數的單調性須借助于導數的應用,本題的難點自然是如何根據條件②靈活地探求不等式對應函數的單調性．

你見過類似f(x)+f′(x)的結構嗎?注意到(ex)′=ex, (e2x)′=2e2x,你有什么想法呢?[exf(x)]′=?

本題最終是求解不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x,注意到左端含有“ln”,運用逆向分析,亦即求解它等價于f(x)?1＞即exf(x)?ex＞4．

好!自然將待解不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x與題設條件中f(x)+f′(x)建立起了聯系．

3.試題的解析

待解不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x等價于ln[f(x)?1]＞即exf(x)?ex＞4,

令h(x)=exf(x)?ex?4,則

h′(x)=exf(x)+exf′(x)?ex=[f(x)+f′(x)?1]ex.因為f(x)+f′(x)＞1,所以

所以h(x)=exf(x)?ex?4單調遞增,又f(0)=5,所以h(0)=e0f(0)?e0?4=0,故h(x)=exf(x)?ex?4＞0=h(0)的解集為(0,+∞)．故答案為A．

評注題設條件中的f(x)＞1是為了保證待解不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x有意義,f(x)+f′(x)＞1是為了說明所構造函數的單調性,f(0)=5是借助于所構造函數的單調性探求不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x的解集特定的數據,題設中的條件不多不少,給的恰到好處．

4.試題的變式與反思

我們洞察了本題的因果關系,可否對其進行改造、得到系列的變式呢?進而探究提煉出此類問題的一般性的規律呢?

4.1 變式1 定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞?1且2f(x)+f′(x)+2＞0,f(0)=e?1,其中f′(x)是f(x)的導函數,則不等式ln[f(x)+1]＞1?2x的解集為( )

A.(0,+∞) B.(?∞,0)∪(3,+∞)

C.(?∞,0)∪(0,+∞) D.(?∞,0)

所以h(x)=e2xf(x)+e2x?e單調遞增,又f(0)=e?1,所以h(0)=e0f(0)+e0?e=0,故h(x)=e2xf(x)+e2x?e＞0的解集為(0,+∞)．故答案為A．

因為3f(x)+f′(x)＜12,所以

4.4 反思如果待解不等式為ln[f(x)?3]＞?3+5x,那么題設條件應該是什么呢?

首先,要想使不等式有意義,勢必滿足條件①f(x)＞3;其次,逆向分析待解不等式ln[f(x)?3]＞?3+5x,則它等

因此題設中應有條件②?5f(x)+f′(x)+15＞0或?5f(x)+f′(x)+15＜0;

再者,應用函數u(x)=e?5x+3f(x)?3e?5x+3?1的單調性須滿足u(x0)=e?5x0+3f(x0)?3e?5x0+3?1=0,只需賦予某個x0的值即可,一般的,x0的賦值是運用e0給出．

5.試題的解題規律

解析待解不等式ln[f(x)+a]＞bx+c等價于ln[f(x)+a]＞lnebx+c,則e?bx?cf(x)+ae?bx?c＞1,令

則

6.啟示

數學問題千變萬化,這種變化給許多學生學習數學帶來畏懼感,使得他們面對數學的“新”顯得“出招無力”．這種現象的根源在于他們只會孤立地去應用某個知識點“套”數學問題,而不會審題,不會分析,不能將題設條件與待解決問題架起一座通暢的橋梁[1]．

“數學是思維的體操．”這就要求我們少一份機械的“套用”,多一分思考,學會審題,善于分析,領悟數學方法與數學思想的滲透,從而能夠發現問題并進行“模式識別”,加強知識的梳理與應用,提高知識的運用效率,提高學習與復習的成效[2]．

[1]岳峻.以數學審題探核心素養如何落地[J].數學通報,2016(11): 44-48.

[2]岳峻.提升數學思維素養的教學實踐與思考[J].中學數學(上旬), 2015(12):96-98.

*本文系安徽省教育科學規劃課題《基于核心素養的高中數學教學的實踐途徑與策略的研究》的階段成果;安徽省阜陽市教育科學規劃課題《基于微課的翻轉課堂的數學教學實踐研究》(編號FJK16054)的階段成果;岳峻名師工作室的初步研究成果.