安徽省蕪湖市繁昌縣第一中學(241200) 鮑健

一類高考試題的轉化和拓展

安徽省蕪湖市繁昌縣第一中學(241200) 鮑健

在高中數學中,錯位相減法是用來推導等比數列前項和公式的方法,是數列求和的重要方法之一,也是高考考查的重點方法.

1 提出問題,引發思考

筆者研究近幾年各省市的高考數列解答題發現,用錯位相減法求數列的前項和的問題出現頻率非常高.從下面所列舉的部分高考試題,我們發現這些高考數列解答題第一問都是考查等差、等比這兩種特殊數列的通項公式,第二問都是考查由等差等比對應項乘積構造新數列的前項和.

例題1(2016年山東省高考理科數學第18題)已知數列{an}的前n項和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數列,且an=bn+bn+1.

(I)求數列{bn}的通項公式;

解析(I)因為數列{an}的前n項和Sn=3n+8n,所

例題4(2015年山東省高考理科數學第18題)設數列{an}的前n項和為Sn,已知2Sn=3n+3.

(I)求{an}的通項公式;

(II)若數列{bn}滿足anbn=log3an,求{bn}的前n項和Tn.以a1=11,當n≥2時,

所以Tn=?12+3·22(1?2n)+(3n+3)·2n+2=3n·2n+2.

例題2(2015年天津市高考理科數學第18題)已知數列{an}滿足an+2=qan(q為實數,且q≠1),n∈N?,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數列.

(I)求q的值和{an}的通項公式;

例題3(2015年湖北省高考理科數學第18題)設等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn,等比數列{bn}的公比為q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.

(I)求數列{an},{bn}的通項公式;

(II)當d＞1時,記求數列{cn}的前n項和Tn.

2 探究問題,提煉結論

筆者認為,總結高中階段利用錯位相減法求數列的前n項和問題的特點,我們不難推出如下結論:若數列{an},{bn}分別是公差為d的等差數列和首項b1公比q(b≠0,q≠0)的等比數列,則求數列{anbn}的前n項和Sn可以用錯位相減法.

3 轉化問題,殊途同歸

筆者在研究過程中發現,我們可借助于函數求導,可將上述結論中求數列{anbn}的前n項和問題轉化為特定等比數列求和后關于公比q的導數問題,下面以證明上述結論為例來說明.對于①式我們有:

4 拓展問題,發現新知

筆者進一步思考:等差數列{an}的通項公式an=dn+a0(n∈N?)是關于n的一次多項式(其中d是公差),若數列{an}的通項公式是關于n的最高次為m次的多項式,是否有類似的結論呢?