新課標高考數學客觀題的考點分布及解法探析

寧夏回族自治區固原市第二中學(756000) 張興

寧夏回族自治區固原市回民中學(756000) 李雪琴

新課標高考數學客觀題的考點分布及解法探析

寧夏回族自治區固原市第二中學(756000) 張興

寧夏回族自治區固原市回民中學(756000) 李雪琴

高考數學選擇題為考查“四基”的小型綜合題,其解答的效益、效果和效率,對考試成敗起著決定性的作用,通過對歷年考試題及其解答的統計分析,得出解答數學選擇題有數學計算性、數形結合性和數學分析性三大策略.

選擇題;解答方法;突破策略

高考數學試題多,考查面廣,不僅要求答題的準確率,還要求有較快的解題時速度,由于選擇題排布在最前面,占總題數的60%,為考查“四基”的小型綜合題,所以選擇題解答效益、效果和效率決定了做題能否進入最佳狀態,對考試的成敗起著決定性的作用,因此研究解答題的突破策略,具有很重要的現實意義.

一、數學計算性求解策略

數學計算求解就是直接從題設條件出發,運用有關概念、性質、定理、法則等,通過嚴密的推理和準確的運算,得出正確結論的方法.從2007年到2016年新課標文理共30套題中,必須通過數學計算才能解答的選擇題目有“七算”,其中集合運算25個、復數運算28個、框圖流程運算30個、函數與導數運算11個、三角運算24個、數列運算14個、向量運算17個、概率計算13個.平均每套題5個,占選擇題的40%,說明數學計算是求解選擇題最基礎的方法.

例1(2013年1卷理科第1題)已知集合A={x|x2?2x＞0},B={x|?5＜x＜5},則( )

A.A∩B=? B.A∪B=R

C.B?AD.A?B

解析A={x|x2?2x＞0}={x|x＜0或x＞2}所以A∪B=R,故選B.

例2(2013年1卷理2題)若復數z滿足(3?4i)z= |4+3i|,則z的虛部為( )

解析由(?4,?3),A(0,1),得 點C(?4,?2),則(?4?3,?2?2) = (?7,?4),選A.

例6 (2010年 文8題)如果執行右面的框圖,輸入N= 5,則輸出的數等于 ( )

圖1

解析根據框圖運行計算,得答案為D.

例7 (2016年 理 II卷 10題)從區間[0,1]隨 機 抽 取 2n個 數x1,x2,···,xn,y1,y2,···,yn,構成n個數對 (x1,y1),(x2,y2),···,(xn,yn),其中兩數的平方和小于1的數對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為( )

圖2

解析由題意得(xi,yi)(i=1,2,···,n)在如圖所示方格中,而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中.由幾何概型概率計算公式知選C.

上面七個例題代表七類運算,它們分別是集合運算、復數運算、框圖流程運算、函數與導數運算、三角運算、數列運算和概率運算.第一,它們基本都排在12個選擇題的前面,屬于簡單易做的題目,是高考保證分值的部分.第二,它們的內容都是針對四基,即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗.第三,解答這些題目,首先要掌握七類運算各自獨特的算理和算法.其次強化對四基的理解和運用.再次要保持信心、認真審題和細致解答.

二、數形結合求解策略

數形結合就是根據題目條件,做出所研究代數問題的幾何圖形,或者把幾何關系轉化為代數關系,解決問題的辦法.從2007年到2016年新課標文理共30套題中,通過數形結合解答的選擇題主要有“六圖”,即函數零點與圖像22個、三角函數圖像18個、圓錐曲線的圖像30個、平面區域圖像14個、三視圖26個、球與多面體的組合體19個.平均每套題4個,占總數的三分之一.說明數形結合是解答選擇題最重要的方法.

例8(2011年文2)已知函數y=f(x)周期為2,當x∈[?1,1]時f(x)=x2,那么函數y=f(x)的圖像與函數y=|lgx|的圖像的交點共有( )

圖3

A. 10個 B. 9個 C. 8個 D. 1個

解析做出如上的圖像,由圖像知選擇A.

例9(2016年文II卷3題)函數y=Asin(ωx+φ)的部分圖像如圖所示,則( ).

圖4

例10(2015年理 II卷 11題)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點,點M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為( )

圖5

圖6

解析當目標函數經過A點時取得最小值,而A(1,?2a),所以2?2a=1,得

例12(2012文7題)如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為( ).

A.6B.9C.12D.18

圖7

解析由俯視圖知此幾何體的底面為等腰三角形,且一邊長為6,其上高為3,由正視圖與此視圖知有一個側面垂直于底面,且高為3,可以計算出體積為9,故選擇B.

例13(2016理III卷10)在封閉的直三棱柱ABC?A1B1C1內有一個體積為V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( )

上述六個例題,分別代表函數零點與圖像、三角函數圖像、圓錐曲線圖像、平面區域圖像、三視圖、球的組合體六個方面的圖像問題.其中三角函數圖像主要涉計由解析式做出圖像、根據圖像求解析式、圖像的平移以及對稱性等.平面區域圖像問題即線性規劃,主要涉及求二元函數的最值、由最值求某個參數值等.三視圖主要涉及把三視圖還原為直觀圖,再求體積或面積.這三個相對比較容易解答.剩下的球與多面體的組合關鍵在于圖像分解,特別要注意交點和切點的運用.圓錐曲線的圖像理科以雙曲線為主,文科以拋物線為主,主要考查定義和性質.函數的零點與圖像,主要涉及指數、對數、二次和分段這幾類函數的圖像交點問題.這三個相對有一定的難度,解答時關鍵要抓住圖像特征,從圖像中尋找解題的切入點,尤其要重視課本中相關的典型題目.

三、數學分析求解策略

數學選擇題不僅告訴已知條件,需要回答什么問題,同時還將正確答案隱藏在試題“四選一”選擇支中,由于有備選項,給試題的解答提供了豐富的信息,使得數學分析求解策略成為一種特色.所謂數學分析求解就是指通過數值分析、圖像分析、性質分析、代入分析和邏輯分析求解問題的辦法.從對歷年的高考試題統計可以看出,每年有三個左右可以使用此方法解答,其中至少有一個必須使用,而且解答難度比較大的題目,通常會有意想不到的效果.

例15(2016理I卷7題)函數y=2x2–e|x|在[–2,2]的圖像大致為( )

圖8

解析當x=2時,y=2x2–e|x|=2×22?e2＞0,且y＜0,故排除A、B,令x→0+,y′=4x?ex＜0,y=2x2–e|x|為減函數,排除C.

例16(2016文II卷10題)下列函數中,其定義域和值域分別與函數y=10lgx的定義域和值域相同的是( ).

A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.

解析y=10lgx的定義域和值域都是正實數,四個備選答案中適合條件的只有D.

例17(2016理I卷8題)若a＞b＞1,0＜c＜1,則( ).

A.ac＜bcB.abc＜bac

C.alogbc＜blogacD. logac＜logbc

解析若ac＜bc,又c＞0?a＜b,與已知a＞b＞1,0＜c＜1矛盾,故排除A.若abc＜bac?ac?1＞bc?1,又c?1＜0?a＜b,與已知矛盾,故排除B.若logac＜logbc??logca＞logcb?ac＞bc,故排除D.

例18關于a,b正確的選項( )

A. |a|＜1或|b|＜1 B. |a|＜1且|b|＜1

C. |a+b|＜|1+ab| D. |a|＜1且|b|＜1

解析若B為真,即|a|＞1且|b|＞1?(a2?1)(b2?1)＞0?(1+ab)2＞(a+b)2?|1+ab|＜|a+b|;所以B, C同真,故排除B.

若C為真,即|a+b|＜|1+ab|?(a+b)2＜(1+ab)2?(a2?1)(b2?1)＞0.又由于B不真,故|a|＜1且|b|＜1,由于以上每一步都可逆,于是C,D同真,故排除C,D.故選擇A.

上述5個例題的解答分別代表數值分析、圖像分析、性質分析、代入分析和邏輯分析.其中數值分析就是分析題目中的數值及其變化趨勢,從中探究結果.例14的解法一為常規解答,綜合使用了計算和數形結合的手段,解法二采用數值分析,先分析特殊值的特征,再分析數值變化中的特征,很明顯方法二優于方法一.圖像分析就是分析特殊點、特殊圖形以及圖形變化過程中探究結果,即例15的解法.性質分析就是分析題目給出條件,所具有的一些特殊性質,即例16的解法.代入分析就是指把條件代入選擇支進行檢驗,或者把選擇支代入條件進行檢驗,排除不適合的選項,進而得出正確選項的方法,即例17的解法.邏輯分析就是利用邏輯知識,分析四個選擇支相互之間關系,排除不符合邏輯的選項,確定答案的辦法,即例18的解法.

通過上文的探究我們就會發現,解答數學選擇題有數學計算性、數形結合性和數學分析性三大策略,其中數學計算是基礎性策略,主要用于解答排列在選擇題前面的“七算”問題,只需要掌握七類運算的算法和算理.數形結合是提高性策略,主要用于解答排列在選擇題后面部分的“六圖”問題,關鍵要在圖像特征中尋求解題切入點.而數學分析則是前兩種策略的有效補充,運用恰當,可以起到四兩撥千金的效果.