揚州大學數學科學學院(225002) 茆福星 濮安山

構造圖形解決高考中不等式問題的例析*

揚州大學數學科學學院(225002) 茆福星(1)濮安山(2)

不等式是高中數學的主要內容,它幾乎涉及高中數學的所有領域,一直都是歷年高考的熱點.通過研究近幾年全國的高考題,一些具有幾何背景的不等式出現在全國各地的高考題中.而這些具有幾何背景的不等式,通過構造圖形來解決,更加簡便快捷,體現了數形結合的優越性.對這類問題的分析與總結,為學生解決不等式問題增添了新途徑.其巧妙靈活的方法也有利于培養學生的解決綜合題目的能力和創新的思維.本文以近三年的高考題為例,分析構造圖形的方法來解決某些不等式的解題策略.

一、構造平面幾何圖形

當不等式滿足多邊形的邊或角之間的數量關系時,比如:三角形的任意一邊大于兩邊之差小于兩邊之和;正方形的四邊相等;三角形內角和180°;正方形四個角都是直角;三角形正余弦定理;勾股定理等,可以通過構造滿足邊或角數量關系的多邊形,利用圖形本身的性質解答不等式.

例1(2015,新課標全國卷II)設a,b,c,d均為正數,且a+b=c+d,證明:

(I)若ab＞cd,則(II)略.

解當兩個正數和為定值時,若兩數之間的差值越小,則其乘積越大.因為ab＞cd,所有四個字母中c和d必是一個最大一個最小,不妨設c最大d最小,同理設a＞b.則有c＞a＞b＞d.由a+b=c+d知c?a=b?d,聯想到勾股定理,因此作以為斜邊、以為直角邊的Rt△ADC,同理作以為直角邊,斜邊的Rt△BDC,拼成如圖1的△ABC.由d＜a知AD＞BD,則在AD上取點B′,使得B′D=BD.又根據三角形三邊關系得AB′+B′C＞AC,即

評析此題代數方法也可以解答,但題目給出的a+b=c+d能夠聯想到勾股定理,等式滿足三角形邊之間的數量關系,通過構造符合數量關系的三角形,從三角形的幾何性質解答不等式.

二、構造兩點間的距離

例2(2016,江蘇)已知實數x,y滿足則x2+y2的取值范圍是____.

解不等式組所表示的平面區域是以點(0,2),(1,0),(2,3)為頂點的三角形及其內部,如圖2陰影部分.x2+y2容易聯想到點(x,y)到原點距離的平方,因此以原點為起點,三角形及其內部任意一點為終點,構造線段.容易從圖中得出,當(x,y)取點(2,3)時,兩點距離最大為而兩點最短距離即為原點到直線2x+y?2=0的距離,其是則x2+y2的取值范圍為

圖2

評析此題先根據不等式組在直角坐標系中畫出平面區域,然后由x2+y2聯想到兩點之間的距離公式,構造線段,并根據線段的長短來得出結果.

三、構造直線的斜率

例3(2015,新課標全國卷I)若x,y滿足約束條件則的最大值為____.

圖3

解作出可行域如圖3的陰影部分所示,把看成陰影部分內部及邊上的任意一點與原點連線的斜率.當這條連線繞原點旋轉,斜率值的大小也隨之改變.構造如圖3的直線,旋轉直線,容易得到當直線過點(1,3)時,斜率最大為3,故的最大值為3.

評析本題中可以看出直線的斜率,根據斜率的幾何性質,旋轉構造的直線,得到斜率的取值范圍,進而能得出斜率的最大值,得出不等式結果.

四、構造向量模型及其相關圖形

向量具有代數和幾何的雙重身份,當不等式中能轉換成向量知識來解決或者在向量知識包含不等式知識時,可以嘗試構造向量模型及其相關圖形,借助向量的模型和相關圖形的性質,求出不等式的結果.

例4(2014,安徽,理)在平面直角坐標系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,點Q滿足曲線區域若C∩?為兩段分離的曲線,則( )

A. 1＜r＜R＜3 B. 1＜r＜3≤R

C.r≤1＜R＜3 D. 1＜r＜3＜R

圖4

解由已知可設a=(1,0),b=(0,1),P(x,y),則曲線C={(cosθ,sinθ)|0≤θ＜2π},聯想到圓,構造以原點為圓心的單位圓,即C:x2+y2=1.區域聯想到圓環,構造如圖4的陰影部分的圓環.如圖4所示,要使C∩?為兩段分離的曲線,只有1＜r＜R＜3.

評析根據向量關系,構造向量模型,進而構造出單位圓和圓環,從圖形的位置關系得出不等式的結果.

五、構造數軸

絕對值是高中數學常見的知識點,在歷年的高考中也頻繁出現,當絕對值出現在不等式中,可以應用絕對值的幾何意義,構造數軸等圖形解答.構造數軸適合含有以下三種絕對值的不等式.

①|x?a|,其幾何意義是數軸到點a的距離.②|x?a|+|x?b|,其幾何意義是數軸到點a和點b的距離之和.③|x?a|?|x?b|,其幾何意義是數軸到點a的距離比到點b的距離長多少或短多少.

例5(2015,山東,理)不等式|x?1|?|x?5|＜2的解集是( )

A.(?∞,4) B.(?∞,1) C.(1,4) D.(1,5)

圖5

解不等式的幾何意義是數軸上點到1的距離與到5的距離之差小于2,構造如圖5的數軸,觀察數軸有4到1的距離正好比到5的距離長2.那么比4的小的數都成立,因此不等式的解集為(?∞,4).

點評先分析含有絕對值不等式的幾何意義,在數軸上準確畫出圖形,然后結合數軸分析解答出不等式的結果.

此外還可以構造直線、圓、立體幾何等圖形來解決不等式問題,但因為缺少近幾年的高考題來論證,在這里無法討論.美國數學家斯蒂恩說:如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創造性地思索問題的解法.構造圖形能夠巧妙簡便地解決高中數學中某些不等式問題,對解決其它問題(例如:數列、函數)也同樣適用.

[1]王亞雄,周國明.圖形構造法證明不等式[J].科技信息,2011(34): 154-155

[2]張馨心,濮安山.例談高考中含參不等式恒成立問題的解題策略[J].中學數學研究,2016(11)：14-16

[3]姚喬,濮安山.例析數形結合思想巧解高考“含參”題[J].中學數學研究,2017(2)：3-4

(1)全日制教育碩士研究生教育實習的研究—以學科教學(數學)為例(JGLX15_160).(2)江蘇高校品牌專業建設工程資助項目(PPZY2015B109)