要引導(dǎo)好“數(shù)學(xué)思考”

容小麗

【摘 要】“讓知識(shí)擁有生長(zhǎng)的力量，讓課堂充滿生長(zhǎng)的氣息。”是當(dāng)前課堂教學(xué)改革的趨勢(shì)。本文從四個(gè)角度說(shuō)明引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”的策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思考；情境；體驗(yàn)；模型；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2017）12-0061-02

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)在密切關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)基礎(chǔ)和心理發(fā)展水平的基礎(chǔ)上，把握兒童的認(rèn)知規(guī)律、活動(dòng)需要，通過(guò)設(shè)計(jì)并開(kāi)展豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)利用自己通過(guò)努力獲得的知識(shí)技能、思想方法、思維方式及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)去解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何更有效地達(dá)成這一目標(biāo)？筆者現(xiàn)結(jié)合自己的公開(kāi)課教學(xué)案例，談點(diǎn)認(rèn)識(shí)、實(shí)踐、思考與探索。

【課例】數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)（第91頁(yè)）“數(shù)學(xué)思考——找規(guī)律”：6個(gè)點(diǎn)可以連成多少條線段？8個(gè)點(diǎn)呢？（如表1）

【解讀】從教材內(nèi)容的編排上看，安排在六年級(jí)總復(fù)習(xí)中的“數(shù)學(xué)思考”，共有例5、例6、例7三道例題，可分為三課時(shí)教學(xué)。這部分內(nèi)容既是對(duì)整個(gè)小學(xué)階段“解決問(wèn)題的策略”的典型性概括，同時(shí)又是對(duì)解決代表性實(shí)際問(wèn)題的提升，因此，其內(nèi)容設(shè)計(jì)具有一定的思維含量，對(duì)教與學(xué)都充滿了挑戰(zhàn)。基于這樣的認(rèn)識(shí)，個(gè)人認(rèn)為，對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)克服傳統(tǒng)的“講、練、評(píng)”模式，復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，不可單純地就題解題，以訓(xùn)練的方式簡(jiǎn)單地給予，應(yīng)讓學(xué)生更好地通過(guò)聯(lián)系具體情境，以生活化與數(shù)學(xué)化相結(jié)合的方式幫助學(xué)生思考數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)。作為本部分內(nèi)容第一課時(shí)的例5，從教材的編寫意圖上看，就是要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)化難為易、化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并能夠從規(guī)律中進(jìn)行抽象概括、建立數(shù)學(xué)模型。如何上好這一課？根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、體會(huì)和思考，本課復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)把握“四個(gè)引導(dǎo)”，突出其中的“數(shù)學(xué)思考”。

一、要引導(dǎo)思考中的情境創(chuàng)設(shè)

教學(xué)時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境：給例5“探究在同一個(gè)平面內(nèi)，增加點(diǎn)數(shù)、增加線段數(shù)與線段總數(shù)的規(guī)律性”配個(gè)生活“原型”——師生“握手交友”，以此將靜止抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題注入生動(dòng)形象的生活氣息。老師和一位同學(xué)、兩位同學(xué)分別握手了幾次？和三位、四位呢？如果老師要和全班同學(xué)一一握手，共握多少次？同學(xué)們興趣倍增，主動(dòng)思維、積極思考，很快說(shuō)出了答案。假如老師和全班同學(xué)每人之間都要相互握手，共握多少次？誰(shuí)能回答？頓時(shí)，同學(xué)們滿臉疑惑，急于求解的心態(tài)油然而生，面對(duì)學(xué)生的困惑，教師啟示：大家能不能把這一復(fù)雜的情境化作簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)考慮呢？由少及多的親切交往，由易而難又化難為易的問(wèn)題設(shè)計(jì)，既激起了學(xué)生的探究欲望，又挑戰(zhàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，既完成了學(xué)生建構(gòu)新知的知識(shí)遷移和情緒轉(zhuǎn)移，又促使教學(xué)轉(zhuǎn)入了下一個(gè)“最近發(fā)展區(qū)”——探究在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)數(shù)、線段數(shù)與線段總數(shù)的規(guī)律性。

二、要引導(dǎo)思考中的探究體驗(yàn)

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，除了激活學(xué)生的潛在經(jīng)驗(yàn)外，重要的是在課堂中充分開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“重走科學(xué)家的發(fā)現(xiàn)之路”，讓學(xué)生獨(dú)立思考，主動(dòng)探究，促進(jìn)他們累積數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教師需要在“起點(diǎn)”（學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)）和“終點(diǎn)”（要達(dá)成的目標(biāo)）之間搭建一座跨越的橋梁；這座橋梁，就是學(xué)生在教師預(yù)設(shè)的活動(dòng)中，進(jìn)行探究體驗(yàn)的過(guò)程。有效開(kāi)展探究體驗(yàn)活動(dòng)，首先要選擇合適的問(wèn)題、采取積極互動(dòng)的方式，并以問(wèn)題激發(fā)和情意交往引領(lǐng)整個(gè)探究過(guò)程。

其探究步驟為：

1. 如果用“.”表示人，用“——”表示握手，上述的“握手交友”該怎樣用圖示表示？大家可在草稿紙上畫一畫。（提示：先畫兩人握手，再畫三人、四人握手。）

2. 在此基礎(chǔ)上，如果再增加一個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間都要連接一條線段，你能用圖表示增加的線段數(shù)嗎？這時(shí)，總線段數(shù)你能用算式表示出來(lái)嗎？（學(xué)生嘗試操作）

3. 如果一共6個(gè)點(diǎn)、8個(gè)點(diǎn)呢？

4. 在剛才的動(dòng)手操作、思考交流的過(guò)程中，從“1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5……”的變化中，你們發(fā)現(xiàn)了什么？（指名學(xué)生反饋、組織學(xué)生交流，教師介入點(diǎn)撥指導(dǎo)并引導(dǎo)學(xué)生概括小結(jié)）

教師以解決問(wèn)題為載體展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)，結(jié)合學(xué)生的思考探究，采用化難為易、由少及多的引導(dǎo)策略。在這一過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了“獲取問(wèn)題——獨(dú)立思考——操作感悟——合作交流——探究發(fā)現(xiàn)”的思維過(guò)程，并隨著活動(dòng)探究，體驗(yàn)步步深入。學(xué)生的學(xué)習(xí)只有在這樣的有效教學(xué)活動(dòng)中，思維才能得到發(fā)展；只有親身參與探究體驗(yàn)，才能積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，在引導(dǎo)探究體驗(yàn)的過(guò)程中，我們的著眼點(diǎn)應(yīng)在更細(xì)膩、更豐富的角度上去多思考、下功夫，讓他們?cè)鷮?shí)地經(jīng)歷每一個(gè)組織環(huán)節(jié)、每一個(gè)活動(dòng)細(xì)節(jié)。只有這樣，他們的探究體驗(yàn)才會(huì)更深刻、更牢固，也才會(huì)獲得探究規(guī)律的方法與活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，這正如“我聽(tīng)過(guò)了，就忘記了；我看過(guò)了，就記住了；我做過(guò)了，就理解了。”

三、要引導(dǎo)思考中的模型建立

如何把概括的、抽象的數(shù)學(xué)思考變成火熱、生動(dòng)、活潑的實(shí)際行動(dòng)？如何把教學(xué)推到“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”的新平臺(tái)？對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是個(gè)難題。一條捷徑就是從熟悉的情境中引入數(shù)學(xué)問(wèn)題，拉近數(shù)學(xué)與生活、生產(chǎn)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)情境里獲得的直觀的、具體的知識(shí)中向比較、推理、概括等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)中過(guò)渡，才會(huì)最大可能獲得從具體形象思維到抽象邏輯思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)建模不僅是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種經(jīng)典方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用“模型”概括是數(shù)學(xué)本質(zhì)化教學(xué)的重要策略。小學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)模型，可有效地解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的實(shí)際問(wèn)題。本節(jié)課還要引導(dǎo)學(xué)生 “再創(chuàng)造”，即適時(shí)地進(jìn)行模型化概括，在上述的過(guò)程中，設(shè)計(jì)如下環(huán)節(jié)：

如果有n個(gè)點(diǎn)，增加的線段數(shù)有多少？用算式怎么表示？學(xué)生交流后得出：1+2+3+4+5+…+（n-1）

假設(shè)用P表示線段總條數(shù)，n表示點(diǎn)數(shù)，那么P與n的關(guān)系怎樣表示？

簡(jiǎn)單的設(shè)問(wèn)，把復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化為學(xué)生可接收的范圍，把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，再一次提升了學(xué)生的思維層次，讓孩子們真切地感受到了“學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”的魅力。

圍繞高難度的這一問(wèn)題，學(xué)生嘗試“建模”，又一次思考交流。當(dāng)學(xué)生在老師的啟發(fā)指導(dǎo)下，得出“P=n（n-1）÷2”的模型后，為幫助學(xué)生更好地理解這一模型，教師追問(wèn)：誰(shuí)能聯(lián)系我們的握手情境來(lái)解釋這個(gè)模型的具體意義？P表示握手總次數(shù)，n表示人數(shù)，那么（n-1）表示什么？

在相互握手里，自己不可能與自己握手，所以要減1。

為什么要除以2？

我與你握手就等于你和我握手，兩人握手只算一次。

當(dāng)學(xué)生領(lǐng)會(huì)了這樣的意義，頭腦中搭建的模型就更加清晰了，自然也就加深了對(duì)規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。我們知道，小學(xué)數(shù)學(xué)中的“搭配問(wèn)題”集中表現(xiàn)在“排列”與“組合”兩大方面，教學(xué)只有在這樣的具體情境中幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、思考與探究，學(xué)生才會(huì)真正把握“只要有規(guī)則才會(huì)有順序，才會(huì)不重復(fù)，才會(huì)不遺漏”的“搭配”策略，也才會(huì)明確不同的“搭配”實(shí)際有著不同的“搭配方案”，從而提升了對(duì)實(shí)際問(wèn)題中相似性與不同性的識(shí)別。

四、要引導(dǎo)思考中的實(shí)際應(yīng)用

幫助學(xué)生更好地理解與掌握上述模型并將這一模型應(yīng)用于新的情境之中，是教學(xué)不可忽視的重要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)所在。對(duì)此，筆者設(shè)計(jì)了以下兩題讓學(xué)生獨(dú)立嘗試解決。

第一題：2013-2014年度CBA中國(guó)職業(yè)籃球聯(lián)賽共有16支球隊(duì)參加。

首先要進(jìn)行循環(huán)賽，那么循環(huán)一次要比賽多少場(chǎng)？如果主客場(chǎng)制，又要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？

第二題：“要畢業(yè)了！留住美好的瞬間。” 程老師與數(shù)學(xué)興趣小組的四位同學(xué)站成一排合影留念。一共有多少種站法？

這兩題都是生活中的“搭配問(wèn)題”，但解決策略并不相同。第一題是“組合”問(wèn)題，讓學(xué)生應(yīng)用已建立的模型“P=n（n-1）÷2”來(lái)解決；第二題是“排列”問(wèn)題，需要學(xué)生認(rèn)真思考其與第一題的不同之處，通過(guò)對(duì)比練習(xí)，思考獲得“排列”問(wèn)題的解決模型：P=n（n-1）。這樣，通過(guò)交流評(píng)議與反饋指導(dǎo)，促使學(xué)生構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

這樣組織活動(dòng)，充分體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)思考”與“數(shù)學(xué)建模”的本質(zhì)特征，收到了較理想的教學(xué)效果。整堂課，圍繞數(shù)學(xué)思考，運(yùn)用“尋求聯(lián)系——建立模型——解釋并應(yīng)用”的模式組織學(xué)生探究，突出了學(xué)科教學(xué)特色，學(xué)生始終置于思考、交流和探究的主體地位，滿足了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的需要。數(shù)學(xué)模型源于生活原型又高于生活原型，是生活原型的“再創(chuàng)造”。給數(shù)學(xué)配個(gè)“原型”其目的是為建構(gòu)“模型”架設(shè)溝通的橋梁，同時(shí)也是幫助學(xué)生在具體情境中加強(qiáng)對(duì)“數(shù)學(xué)原型”的認(rèn)識(shí)，由淺入深的問(wèn)題設(shè)計(jì)讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、操作、思考、交流、概括等一系列活動(dòng)中習(xí)得探究規(guī)律的方法、獲得數(shù)學(xué)“建模”的思想。

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是一個(gè)磁場(chǎng)。這個(gè)磁場(chǎng)不僅要能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更重要的是能吸引學(xué)生積極主動(dòng)地去思考、去合作、去探究。這就要求我們通過(guò)有效情境的創(chuàng)設(shè)，依托學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，借助學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)形成過(guò)程中去探究體驗(yàn)，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)際問(wèn)題的解決中，讓思想方法與知識(shí)能力相融共生。這樣的課堂，定能彰顯出其正能量的魅力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 周錫華.有效促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”的幾個(gè)策略[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011，（5）.

（編輯：胡 璐）