一道學考題的多種解法*

●沈建剛 (蕭山中學 浙江杭州 311201)

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一道學考題的多種解法*

●沈建剛 (蕭山中學 浙江杭州 311201)

浙江省2016年4月的高中數學學考卷第18題，函數式中含分式、絕對值，并帶2個參數，同時又復合了“恒成立”與“存在性成立”等不等式問題，是一個考查點豐富、邏輯性要求較高的難題.在解答過程中，筆者發現，該題解法多樣、靈活、多變，值得師生認真研究．

學考;恒成立;復合最值

( )

C.(-∞,1] D.(-∞,2]

(浙江省2016年4月高中數學學考卷第18題)

本題中函數式含分式、絕對值，并帶2個參數，同時又復合了“恒成立”與“存在性成立”等問題，是一個考查點豐富、邏輯性要求較高的難題.它將中學數學中的函數與不等式問題提到了一定高度.在解答過程中，筆者發現，該題解法多樣，各種解法又都圍繞高中數學的難點知識，處理方式靈活、多變，這樣的題值得師生認真研究．

分析1 這是一個“恒成立問題”與“存在性成立問題”的復合題，分2個層面處理.先處理內層：“存在x0∈[1,2]，使得f(x0)≥m”，即f(x)max≥m;再處理外層：“對任意的正實數a和實數b，使f(x)max≥m”，這是關于2個參數的恒成立問題，利用逐一解決的辦法，先b恒成立，再a恒成立，若設f(x)max=h(a,b)，即先求h(a,b)關于b的最小值，進一步求關于a的最小值t，則m≤t.

g(x)∈[g(2),g(1)]，

即

g(x)∈[1-2a-b,2-a-b]，于是f(x)max=|g(x)|max=max{|1-2a-b|,|2-a-b|}.設max{|1-2a-b|,|2-a-b|}=h(a,b)，下求h(a,b)關于b的最小值.因為

|1-2a-b|+|2-a-b|≥

|(1-2a-b)-(2-a-b)|=1+a，

圖1 圖2

解法3g(x)∈[1-2a-b,2-a-b]，將它畫到數軸上，如圖2所示，g(x)表示的是一個區間，區間長度為1+a，當b變化時，區間在數值上左右移動，但長度不變.因為

分析2 上述3種解法對絕對值的處理方法是一致的，都用到“因為f(x)=|g(x)|，所以f(x)的最大值在g(x)取最大或最小時取到”.也可作下面的處理：|g(x0)|≥m，即g(x0)≥m或g(x0)≤-m，可形成下列2種新的解法：

解法4 存在x0,使得|g(x0)|≥m，即

g(x0)≥m或g(x0)≤-m，

等價于g(x)max≥m或g(x)min≤-m,即

g(1)=2-a-b≥m或g(2)=1-2a-b≤-m，

變形為

b≤2-a-m或b≥1-2a+m.

圖3

由題意，上述2個不等式對于任意的實數b成立，如圖3所示，則必須讓2個不等式解集的并集為R，從而

1-2a+m≤2-a-m，

解法5 由解法4可知

g(1)=2-a-b≥m或g(2)=1-2a-b≤-m，

可化成

a+b≤2-m或2a+1≥1+m.

若將a理解為橫坐標，b理解為縱坐標，上述不等式包含的區域記為A，將條件a>0,b∈R表示的區域記為B(實際即y軸的右邊部分),由題意知必須滿足B?A(小范圍推出大范圍).

圖4 圖5 圖6

以上解法均圍繞問題的難點，作了靈活、多變的處理：

1)絕對值的處理，如解法1～3，避開了對絕對值函數翻折的考查，利用絕對值函數的最大值取決于絕對值里面函數的最大值(或最小值)的特征，轉化為考查里面函數的最值.解法4與解法5利用“|x|≥a”與“x≥a或x≤-a”的等價性，解法6利用|f(x)-g(x)|表示“2個函數值的距離”的幾何特征.

2)多層分類討論的處理，如在解法1中，得到絕對值里面函數的最大值與最小值，接下來要解決的問題是2個函數取絕對值后誰大？按部就班的討論會非常復雜，而且找到了最大值后又進一步要求最小值.解法1～3的處理方法是“2個事情一起做了”，就如電腦打“詞語”，有時直接打“詞語”比逐字打要方便，3種解法均展示了復合最值“最大求最小”的處理方法.實際上在解法1中，若|1-2a-b|+|2-a-b|≥|(1-2a-b)-(2-a-b)|=1+a>1，則可更直接得到答案，它將“a,b”恒成立“一起做了”.這或許是簡化分類討論題的方法之一．

3)存在性成立與恒成立的處理，除了轉化為最值處理外，在解法4中，將“對于任意的b恒有b≤2-a-m或b≥1-2a+m”轉化為不等式“x≤2-a-m與x≥1-2a+m”解集的并集為R”，即將邏輯關系轉化為集合包含關系.這是一種新穎的處理方式，解法5也是如此．

在一個問題的解決中，調用了眾多知識，采用了各種方法，并且這些方法差異較大，這是不多見的.筆者認為這是一個“好”題，值得研究.筆者只是拋磚引玉，希望得到更多讀者的關注，會有更多奇思妙想，期待出現“一覽眾山小”的解法與觀點．

2017-04-10；

2017-05-10

沈建剛(1970-)，男，中學高級教師．研究方向：數學教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)06-封三-02