一道數列放縮題解法改進的心路歷程*

●陳寒極 (慈溪中學 浙江慈溪 315300)

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一道數列放縮題解法改進的心路歷程*

●陳寒極 (慈溪中學 浙江慈溪 315300)

高三復習階段，隨著學生學習水平的提高，以及個人知識發展的差異，對同一個問題會有不同的解法，但是解法會有優劣，思考入手點也會有難易的差別，比如數列放縮題就是一個極好的例子.文章通過一題多解，提煉方法后化為多題一解，并歸納解題步驟以及解題中的注意點，從而有效地解決這類問題.

數列；放縮；等比；改進

在高三一輪復習中，有這樣一個問題：

例1[1]已知數列{an}的前n項和Tn滿足an+1=2Tn+6，且a1=6.

(浙江省臺州中學2016屆高三第1學期期中考試優化卷)

從而

于是

故

Tn<3.

所以

(注：留出4項不變，從第5項開始放縮.)

(注：留出3項不變，從第4項開始放縮.)

(注：使用糖水不等式需要注意分母大于分子.)

評析 總結這6種方法：方法1類似于等比數列前n項和公式的推導方法,是神來之筆；方法2湊出一個拆項表達式然后求和；方法3～6都在努力放縮為一個等比數列，然后化為無窮遞縮等比數列求和，其中方法3需留出4項，方法4需留出3項，方法5需留出1項，而方法6不用留項，是相對而言最好的放縮.

在感嘆于學生創造力的同時，筆者又在思考怎么放縮才能相對便捷地求出結果，同時方便學生理解和掌握呢？無獨有偶，在練習中又碰到以下問題.

(2015年浙江省鎮海中學數學模擬試題)

(注：留出2項不變，從第3項開始放縮.)

(注：留出2項不變，從第3項開始放縮.)

(注：留出2項不變，從第3項開始放縮.)

從而

下面給出幾個練習題，說明該方法是有效的、方便的.

即證

本題的另一種證法如下：

當n為偶數時,

再留出第1項和第2項，求和得出證明.

[1] 曲一線.浙江38套模擬卷匯編[M].北京：教育科學出版社，2016.

[2] 王獻新.全品高考復習方案2017一輪復習用書教師手冊[M].北京：北京教育出版社，2016.

2017-02-15；

2017-03-16

陳寒極(1980-)，男，浙江慈溪人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)06-26-04