以形助數(shù)之小心翼翼*

●王 博 陳華云 (溫州市第二外國語學校 浙江溫州 325015)

?

以形助數(shù)之小心翼翼*

●王 博 陳華云 (溫州市第二外國語學校 浙江溫州 325015)

數(shù)形結合思想作為四大數(shù)學思想方法之一，在解題過程中發(fā)揮著巨大的作用.但圖形畢竟只是直觀認知的工具，它不能替代邏輯證明.文章結合實際教學經(jīng)歷，分選不同章節(jié)，從不同角度談談以形助數(shù)的缺陷、錯因分析以及如何克服易錯點.

數(shù)形結合；謬誤；邏輯

數(shù)形結合是重要的數(shù)學思想之一，借助于形的直觀，我們能在數(shù)的迷霧中看得更真切，時有“撥開云霧見青天”之感.筆者從以形助數(shù)的缺陷出發(fā)，明示錯誤，反思錯因，從而糾正思維、操作上的謬誤，提高數(shù)形結合思想方法的理性認識.

案例1 圖像特征的認識偏差

例1 設函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R).

2)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點，且0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

(2015年浙江省數(shù)學高考文科試題第20題)

錯解 由題意知

f(-2)=4-2a+b，

由

0≤b-2a≤1，

得

4≤f(-2)≤5.

又因為f(0)=b，所以問題轉化為“函數(shù)f(x)=x2+ax+b在x∈[-1,1]上存在零點，且4≤f(-2)≤5，求f(0)的取值范圍”.如圖1，考慮拋物線與2條線段AB,CD均產(chǎn)生交點.由圖像可知，當拋物線經(jīng)過點A,D時，f(0)有最小值，此時

得

b=-3.

當拋物線經(jīng)過點B,D時，f(0)有最大值，此時

得

但是，結果跟構圖一致嗎？如圖2所示，當拋物線經(jīng)過點B,D時，f(0)的最大值為某一正數(shù).當數(shù)形結合出現(xiàn)矛盾時，孰對孰錯？若代數(shù)結果不能體現(xiàn)幾何特征，它所對應的函數(shù)圖像是怎樣的呢？當我們隨手畫下拋物線時，這樣的拋物線是否滿足題意呢？

圖1 圖2

那么圖像該如何放置才能得到b=f(0)的最大值？不妨考慮拋物線經(jīng)過點D且與x軸相切的情況，如圖4所示，此時

解得

圖3 圖4

上述案例提醒我們：作圖時除了要考慮圖形的一般特征(如零點、定點)外，還需要充分結合圖形的其他特征(如凹凸性、拐點).由于對圖形特征(這里指的是拋物線的開口大小)的感知不準確，可能會誤作草圖，從而走入歧途.

案例2 毫厘之處的認知困難

例2 已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c，方程f(x)-x=0的2個根x1，x2滿足0

1)當x∈(0,x1)時，證明：x

(2015年浙江省數(shù)學學考模擬試題第22題)

分析 方程f(x)-x=0的根可視作函數(shù)y=f(x)與y=x圖像交點的橫坐標.根據(jù)題意作出圖形(如圖5)，從圖中可以觀察到這樣的信息：

①當x∈(0,x1)時，x

②設函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=x0對稱，則x1

這與我們要證明的命題不相符！

在考試過程中，筆者所任教班級有80%的學生作出了類似的草圖.由于與論題相悖，因此在嘗試構建滿足題意的圖形上花費了大量時間，當摸索得到圖6時，心中依然充滿困惑：圖像在(0,1)上的單調性如何？圖5為什么不可能存在？

圖5 圖6

學生產(chǎn)生困惑的原因在于：上述問題研究的區(qū)域過于狹小，交點與頂點的位置關系有“失之毫厘,謬以千里”之險.此時若借助于圖形解決問題，則猶如螺螄殼里作道場，難度很大.正如華羅庚先生所言：形缺數(shù)時難入微，高見甚是.

正解 根據(jù)題意得

f(x)-x=(x-x1)(x-x2)，其中0

1)當x∈(0,x1)時，

(x-x1)(x-x2)>0，

因此

f(x)>x.

由于f(x)=(x-x1)(x-x2)+x，從而

f(x)-x1=(x-x1)(x-x2+1)<0，

即

f(x)

于是

x

2)由于f(x)=x2-(x1+x2-1)x+x1x2，得

案例3 分類討論的知一漏二

例3[1]設線段AB的2個端點在拋物線y2=x上移動，M為線段AB的中點，|AB|=a(其中a為大于0的常數(shù))，求M到y(tǒng)軸的最短距離.

圖7

在直角梯形ABCD中，由梯形中位線定理及拋物線的定義得

從而

上述解法的不足之處在于作圖時先入為主，忽視了動弦AB的活動區(qū)域受參數(shù)a的限制.事實上，上述解法成立的條件是動弦AB必過焦點，經(jīng)過拋物線焦點的弦中，以通徑最短，而拋物線y2=x的通徑為1，因此上述解法只有當a=|AB|≥1時才能成立.而當0

正解 設直線AB的方程為x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立

消去x，得

y2-my-t=0，

從而

Δ=m2+4t>0.

由韋達定理得

y1+y2=m，x1+x2=m2+2t，

(1)

的最小值.又因為|AB|=a，即

從而

化簡得

令p=m2+1≥1，原問題即求

的最小值.

從以上的分析可以看出，當問題需要分類討論時，僅從圖形出發(fā)解決問題可能會分類不清，列舉不全.

案例4 直觀感知的邏輯缺失

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

(2013年天津市數(shù)學高考理科試題第7題)

圖8 圖9

因此g(x)在(0,1)上單調遞增.而當x→0時，

《課標》中有這樣一段話：高中數(shù)學課程應注重提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一.人們在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構等思維過程.這些過程是數(shù)學思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學模式進行思考和作出判斷.數(shù)學思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用.

筆者通過以上實例，闡明圖解法在思維、操作上的謬誤，從而引導學生認識到問題的解決既需要圖形的支撐，更需要邏輯的把關，讓學生學會用理性的思維、實事求是的態(tài)度解決問題、認識世界.

[1] 蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學思想與方法[M].杭州：浙江大學出版社，2017.

2017-02-14；

2017-03-16

王博(1991-)，男，浙江溫州人，中學二級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-18-03