引領審美 激發潛能 提升素養*
——記“直線的點斜式方程”的教學與思考

●任衛兵 (灌南縣第二中學 江蘇灌南 222500)

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引領審美 激發潛能 提升素養*
——記“直線的點斜式方程”的教學與思考

●任衛兵 (灌南縣第二中學 江蘇灌南 222500)

文章通過一節新授課“直線的點斜式方程”感受到：教師在教學過程中要整體把握教材，注重知識的前后聯系，要理解學生的學習水平，合理設置問題，引導學生在合作探究、展示交流的過程中體會到“學習是一趟有趣的發現之旅”，彰顯數學的內在魅力，引領學生的數學審美，激發學生主動學習的潛能，提升思維能力和數學素養，為學生的可持續發展打下堅實的基礎.

直線的點斜式方程;合作探究;數學素養

近日，筆者所在學校舉辦了一次數學沙龍活動，活動的主題是“激發學習潛能，提升數學素養”.這次沙龍活動邀請了市、縣數學教研室領導以及兄弟學校的部分教師一起交流研討.學校給筆者安排的任務是上一節研討課，課題是“直線的點斜式方程”.筆者任教10多年來，“直線的點斜式方程”已經上過很多次，2015年筆者參加江蘇省連云港市青年教師優秀課比賽也正是這個課題.本次沙龍活動再上該內容，對激發學生學習潛能、提升學生數學素養，筆者又有了新的感受和認識，現將這節研討課的課堂情況和課后思考記錄下來，與同行們交流，并懇請批評指正.

1 課堂實錄

1.1 創設情境，提出問題

播放視頻，伴隨畫外音：現實世界中，到處有著優美的圖形，從我們學校體育場的環形跑道到北京的鳥巢體育館、從古代石拱橋到現代立交橋、從飛逝的流星到雨后的彩虹……，到處都顯示著人類文明的偉大.

師：這些優美的圖形，它們的平面圖形都是由什么元素構成的呢？

生1：都是由點、直線和曲線構成的.

師：我們將在解析幾何內容中，學習到直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等(如圖1所示)，并研究它們的方程和性質.直線是最常見、最基本的幾何圖形，今天我們就從直線的方程開始研究.

圖1

1.2 合作探究，建構數學

師：如何來確定一條直線的位置呢？

生2：兩點確定一條直線.

師：請大家討論：如果已知直線經過一個點，那么這條直線是確定的嗎？如果一條直線的方向是確定的，那么這條直線是確定的嗎？

生3：只知道直線經過一個點，或者只知道直線的方向，是不能確定直線的.但是，一個點和一個方向可以確定直線.

圖2

師：大家都認可了生3的看法.一起來看下面這個問題：若直線l經過點A(-1,3),斜率為-2，點P在直線l上運動，那么點P的坐標(x,y)滿足什么條件？

(學生們小組合作進行探究.)

生4：首先，畫出圖形(如圖2)，當點P在直線l上運動時，它與點A的連線斜率始終等于-2，即

(1)

師：這個式子可以表示直線上的每一個點P嗎？

生5：不可以.x不能取-1，因此點P不能與點A重合，式(1)表示直線l上除點A以外的所有點.若將式子變形為

(2)

就包含點A.將式(2)化簡得

(3)

式(3)即表示直線l上的所有點了.

師：生5分析得非常好.直線方程必須滿足的2個條件：1)直線上運動的點坐標都要滿足方程；2)以方程的解為坐標的點都要在直線上.從生5的分析可以發現式(3)已經滿足條件1)了，那它滿足條件2)嗎？

生6：由式(3)等價變形為式(2)、式(2)變形為式(1)的過程中，少了一個點(-1,3)，而這個點本身就在直線l上，因此式(3)也是滿足條件2).

師：通過生6的分析發現式(3)同時滿足條件1)和2)，我們把這樣的方程叫做直線的方程，這樣的直線叫做方程的直線.同樣，以后在學習圓、橢圓、雙曲線和拋物線等曲線方程時，也要經過這樣的探究過程.同學們可以通過求直線的方程來體會求曲線方程的一般方法：首先建立適當的直角坐標系；根據條件列出等式；進行化簡；最后說明以方程的解為坐標的點都在曲線上.請同學們想一想：剛才直線方程的研究過程體現了什么數學思想呢？

生7：通過圖形來研究直線的方程，體現了數形結合思想.

師：我國著名的數學家華羅庚有一首詩：

數與形,本是相倚依,

焉能分作兩邊飛;

數無形時少直覺,

形少數時難入微;

數形結合百般好,

隔離分家萬事休;

切莫忘,

幾何代數統一體,

永遠聯系莫分離.

這首詩說明了數形結合方法在解決數學問題時起著很重要的作用.當遇到一個難以入手的問題時，嘗試畫出圖形，直觀地通過圖形來尋找解題思路，往往能迎刃而解，事半功倍.

師：將剛才討論的直線一般化，可以得到什么結論呢？

生8：如果直線l經過P1(x1,y1)，斜率為k，那么它的方程是y-y1=k(x-x1).

師：很好，因為它是由直線上的點和斜率確定的，我們稱之為直線的點斜式方程.

(教師板書課題：直線的點斜式方程.)

師：那么點斜式方程能不能表示平面內所有的直線呢？

生9：點斜式方程是由直線上的點和斜率確定的，因此它不能表示平面內斜率不存在的直線.

師：大家同意生9的觀點嗎？那么斜率不存在的直線方程又該怎么表示呢？

生10：當直線的斜率不存在時，它是與x軸垂直的直線，該直線上所有的點都有一個共同的特征：橫坐標相等.如果直線l經過P1(x1,y1)，而斜率又不存在，那么它的方程是x=x1.

師：在研究直線的方程時，要分斜率存在和不存在2種情況，這又體現了什么數學思想呢？

生11：分類討論的數學思想.

師：在平時的解題過程中，同學們最容易忽視的就是對直線斜率不存在這種特殊情況的討論，希望同學們養成良好的分類討論習慣.下面我們來看一個例題:

例1 已知直線l經過點P(-2,3)，斜率為2，求該直線的方程.

(解答過程略.)

師：我們來看第2個例題:

例2 已知直線l的斜率為k，與y軸的交點是P(0,b)，求該直線的方程.

生12：由直線的點斜式方程，可得

y-b=k(x-0)，

即

y=kx+b.

師：b就是直線與y軸交點的縱坐標，我們稱b為直線l在y軸上的截距，該類型的方程叫做直線的斜截式方程.顯然，斜截式方程是點斜式方程的特殊情形.那么，斜截式方程能否表示平面內所有的直線？

生13：直線的斜截式方程是由直線的斜率和它在y軸上的截距確定的，因此它仍然不能表示斜率不存在的直線.

師：初中階段我們學習了一次函數，它的圖像是一條直線，其中常數k是直線的斜率，常數b就是直線在y軸上的截距.因此，可以把y=kx+b看作一次函數，又可以看作直線的斜截式方程，注意它們的區別和聯系(如圖3所示).這里又體現了什么數學思想呢?

圖3

生14：函數與方程的思想.

1.3 編題解題，鞏固提升

1.3.1 “你出他做”編題環節

師：請仿照例1和例2，各小組自編1道題，上黑板展示.編好后，再選1道其他小組編的題并解答此題.

生15：已知一直線經過點P(-2,3)，傾斜角為30°，求這條直線的方程.

生16：已知一直線經過點P(-2,3)，且與x軸垂直，求這條直線的方程.

生17：已知一直線經過點P(-2,3)，斜率與y=-2x+3的斜率相等，求這條直線的方程.

生19：已知一直線經過點P(-2,3)，與x軸交點的橫坐標為-1，求這條直線的方程.

生20：已知一直線方程為2x+3y=0，求這條直線的斜率和在y軸上的截距.

師：非常好!以上題目靈活地運用了斜率和傾斜角的關系，尤其是生20所在小組編的這道題目，很有創意.那么此題該如何解決呢?

(其他題目的解答與點評由小組成員合作完成.)

1.3.2 “合作探究”解題環節

師：請各小組合作解決例3：

例3 下面2個直線方程各代表什么特征的直線？

1)y=kx+2；

2)y=2x+b.

生22：我們小組先對k取值-2,-1,0,1,2，作出這5條直線的圖像(如圖4所示)，然后觀察圖像，發現它們都是過點(0,2)的直線.因此，y=kx+2表示過定點(0,2)的直線.

圖4 圖5

生23：我們小組對b取值-2,0,1,3，作出這4條直線的圖像(如圖5所示)，然后觀察圖像，發現它們都是斜率為2且相互平行的直線.因此，y=2x+b表示斜率為2的無數條平行直線.

師：生22和生23總結得很好，下面我們利用幾何畫板驗證一下(驗證過程略).從剛才研究直線點斜式方程的過程可以發現：如果一條直線只給一個定點，那么就不能確定它的方向，是過定點的無數條直線束；如果一條直線只給定斜率，那么只能確定它的傾斜程度，不能確定它的位置，是無數條平行線.因此，直線的點斜式方程是由點和斜率共同確定的，點和斜率之間有著緊密的聯系.老師寫了一首詩《詩說點斜式》，請2位同學來朗讀一下，我們一起來體會下點和斜率之間的關系：

點：你可知，我究竟為何而生？沒有方向，沒有依靠，有的只是一個孤單的我，囚在這自由的牢籠！

斜率：請不要迷惘，請不要擔憂，我便是你此生的方向.

點：你可以有千萬的點，而我卻只有一個你.

斜率：可于千萬般中，唯你，找到了最真實的我.

點：你少了我太虛幻,我少了你太迷茫.

斜率：因此，此生你我便注定成為那唯一的永恒.

點、斜率：讓我們攜手共同成就一條完美的直線，讓我們在解析幾何的天空中留下濃墨的一筆，讓我們在奇妙的數學世界里創造亙古的奇跡……

(教室里響起熱烈的掌聲.)

1.4 回顧反思，總結升華

師：這節課你有哪些收獲？

生24：這節課我們研究了確定直線所需要的條件，得到了直線的點斜式方程和直線的斜截式方程.

生25：求直線的方程時要注意斜率不存在的情況，直線l經過點P1(x1,y1)，當斜率不存在時，它的方程是x=x1.

生26：體驗了求曲線方程的一般方法.

生27：這節課還體現了數形結合、分類討論、轉化與化歸、函數與方程等數學思想.

師：看來本節課大家的收獲還是挺多的，希望同學們能將這些研究問題的思想和方法用在其他問題的解決過程中，相信大家會有更多的收獲！

2 課后反思

2.1 整體把握，注重知識前后聯系

課后筆者與連云港市數學教研員王弟成老師交流，王老師說：“教師不能只著眼于這節課，要著眼于整個高中數學內容.課要一節一節上，但課堂教學內容卻不能就一節課來認識、理解，課是連續的教學片斷，不是孤立的內容，要把一節課放到一個單元、一個章節甚至整個高中數學中去認識、理解.”[1]

直線的點斜式方程，這節課如果只著眼于這一節課的內容，那么內容很簡單，學生自學問題也不大.但是如果著眼于整個解析幾何，將發現這節課的內容是整個解析幾何的起始，尤其是“直線點斜式方程的推導過程”，這個思想方法其實就是整個解析幾何中“曲線的方程”的推導思想方法，因此本節課要讓學生通過研究直線的點斜式方程來體會研究曲線方程的一般方法.

2.2 自主交流，發展學生思維能力

課堂教學是為了讓學生在考試中取得優異成績，這是主要目的，但不是最終目的.教學更重要的目的是“育人”，是培養學生的理性思維能力、數學素養.“學會數學思維”“通過數學學會思維”，為學生進一步發展奠基.教師要在教學中適時地引導學生在小組合作探究中實現知識的自主生成、在自主交流中發展學生的思維能力.學生一個人的思考有時是不全面的，甚至是不深入、不到位的，因此教師需要引導學生相互交流、集思廣益、相互討論完善方法[2].

教師更重要的價值在于：在學生有困惑時能給予恰如其分的點撥，能以恰當的方式引導學生思考，把教師對問題的理解轉化為學生的理解，使學生自我感悟、自我提升.

2.3 合理設問，提升學生思維品質

“問題是數學的心臟”，在教學中“問”是很重要的，也是很有技巧的.教育學家陶行知先生曾說：“發明千千萬，起點是一問；智者問得巧，愚者問得笨.”好的提問對于激發學生的思維，活躍課堂氣氛，鞏固學生所學知識，提高學生能力都起到積極的作用.好的問題可以引導學生以自主探索、合作交流的方式學習、使學生在解決問題的過程中感受數學、體驗數學和理解數學，發展解決問題的策略，樹立正確的數學觀.教師設計的問題不僅要體現數學思想方法，使學生學習分析、解決問題的方法，還要凸現和強化過程意識，使過程與結果并重[3].

合理設置問題串，讓學生帶著問題進行學習，通過自主學習和合作交流，促進學生對知識的理解、方法的掌握.在教學過程中，教師要密切關注學生的學習動態，不失時機地提出問題，通過引導、啟發、點撥、評價、矯正，幫助他們拓展思維、開闊視野、提煉精要、升華情感，讓師生對話得以持續，使學生單一的思維多元化，才能最終提升學生的思維品質.

2.4 詩意課堂，引領學生數學審美

“愛美之心，人皆有之”，張奠宙先生在文獻[4]里談了很多關于數學欣賞的角度和具體案例.大數學家龐加萊指出：“數學有簡約美、奇異美、冷俊美等，顯示出冰冷的美麗.可惜沒有多少學生能發現數學的美麗.”文衛星老師在文獻[5]中也指出詩歌與數學的結合，最容易引起學生的共鳴，能夠激發學生的興趣，展現數學的美與和諧.

詩歌用最精煉的語言表現出豐富的生活情景和思想感情，而數學是用最簡潔的語言(文字語言、符號語言、圖形語言)表達最復雜的現實世界，將復雜的萬事萬物抽象化，用圖形和數量關系來表達.詩歌的凝練與數學的簡潔是一致的，詩歌和數學以不同的方式表達著精神和現實的美，是藝術和科學的完美結合.數學審美，往往是從欣賞幾何圖形外表的美開始，然后一步步逐漸欣賞數學內涵的美妙.在數學課堂中，合理插入合適的詩歌，既能揭示數學本質，又能喚起學生潛意識中對美的追求與向往.

2.5 滲透思想，提升學生數學素養

《教育部關于全面深化課程改革、落實立德樹人根本任務的意見》指出：核心素養就是學生發展的根本目標，又指出：“核心素養”就是“適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”[6].數學思想方法，就是數學素養的一個重要組成部分.人類的思想是推動社會進步最主要的動力之源.數學思想是數學知識向能力轉化的橋梁，是數學的靈魂，提升數學素養的關鍵是提高學生對數學思想的認識，提高運用數學思想的意識和能力[7].

本節課通過精心的設計和學生的合作探究，讓學生在數學知識的建構生成過程中體會數形結合、分類討論、轉化與化歸、函數與方程等思想方法.在教學過程中，學生潛移默化地使用這些數學思想方法建構知識、探究問題.

數學教學的本質就在于如何促進學生更好地理解數學的本質.章建躍博士認為：“教學設計能力是教師專業水平和教學能力的關鍵，其本質是‘理解數學，理解學生，理解教學’的水平和能力.”教師首先要整體把握教材，注重知識的前后聯系，然后要理解學生的學習水平，合理地設置問題，引導學生在合作探究、展示交流的過程中體會到“學習是一趟有趣的發現之旅，并發現學習的樂趣”，彰顯數學的內在魅力，引領學生的數學審美，激發學生主動學習的潛能，提升思維能力和數學素養，為學生的可持續發展打下堅實的基礎.

[1] 王弟成.整體視角 把握本質 教授方法 關注素養[J].中學數學教學參考：上旬，2016(4)：15-17.

[2] 王弟成，潘彩.高三復習：讓學生建構自主發展復習之路[J].中學數學教學參考：上旬，2012(11)：50-53.

[3] 任衛兵.當“第一思路”阻滯之后[J].中學數學教學參考：上旬，2015(11)：36-40.

[4] 張奠宙.數學欣賞：一片等待開發的沃土[J].中學數學教學參考：上旬，2014(1/2)：3-6.

[5] 文衛星.詩意課堂引領學生審美[J].中學數學教學參考：上旬，2014(10)：7-9.

[6] 孫宏安.數學素養探討[J].中學數學教學參考：上旬，2016(4)：7-10.

[7] 繆林，季剛祥.問題驅動思維 探究促成高效[J].中學數學教學參考：上旬，2016(1/2)：43-45.

2017-03-09；

2017-04-10

任衛兵(1983-)，男，江蘇連云港人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-33-05