提高探究實效 培養思維能力*

●葉會新 (玉城中學 浙江玉環 317600)

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提高探究實效 培養思維能力*

●葉會新 (玉城中學 浙江玉環 317600)

《新課程標準》提出要提高課堂教學效率，教師要引導學生積極思考，激發學習興趣，主動構建，掌握解題規律；重視反思，探究新解，提升分析問題與解決問題的能力，培養學生探究的數學思維和數學素養．

探究；思維品質；思維策略

蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探究者.”探究式學習作為新課程改革大力提倡的學習方式之一，改變了課堂教學沉悶的現狀，讓課堂充滿了生機，能讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的數學思維.新課程實施以來，教師的觀念得到明顯改變，在教學中增強了引導學生探究的意識.然而，在教學中仍然存在探究目標不明確、探究途徑缺乏、為探究而探究等現象.如何改善這些現象是值得思考的問題，筆者從“理解數學、理解學生、理解教學”出發，在教學中注重探究的實效，從6個方面加以闡述，與同仁們交流.

1 重視數學實驗，激發學習興趣

有效的學習活動不能單純地依靠模仿和記憶.在立體幾何的判定定理教學中,教師應充分重視數學實驗，讓學生動手操作,體驗數學發現和創造的過程，這是培養學生探究能力的有效方法之一．

案例1 2個立體幾何問題的數學實驗

1)在教學“直線與平面垂直的判定”時，教師在課前要求學生準備好三角形紙片，上課時要求學生過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上．讓學生觀察紙片與桌面的位置關系，并提出如下問題：折痕與桌面垂直嗎？為什么不會垂直？如何改進使其垂直？你認為2者垂直的理由是什么？從中發現定義難以操作，進而得出直線與平面垂直的判定方法．

課本中安排這個探究題作為定理的前奏，目的是想讓學生經歷從數學實驗到展開思考，再進行合情推理的數學知識的形成過程．為此，在操作過程中，要給學生提供充分思考與發現的時間．在折紙的過程與后續思考中，滲透了變與不變的辯證關系，學生能感受到運動中蘊涵著靜止，并從中培養發現與探究的能力．

2)在教學“面面平行的判定定理”時，教師提出“怎樣檢測教室的地面是否平整，你知道泥水匠是用什么來檢測的呢”,從而引出使用水平儀測量的方法.教師順勢提供準備好的水平儀，讓學生分組合作進行實驗操作，并提出“在什么情況下地面是平整的”，再讓學生進行交流，選擇一個代表發言．“為什么要讓教室的地面平整呢”,實際上真正的目的是為了讓教室平面與水平面保持平行．之后，進一步追問“怎樣判斷2個平面平行呢”,上述的教學設計既符合學生的認知基礎，也順應課程標準的“直觀感知、操作確認”,課堂教學要讓學生理解探究的意義，掌握好數學本質的特征[1].

2 注重問題遞進，逐步建構概念

人教社章建躍博士認為：“如何設法在學生學習中融入問題解決的成分，‘問題串’是一種行之有效的方法．”在數學核心概念的教學過程中，如果能設計好精細化的問題串，就能夠把問題化大為小，化抽象為具體，能使學生的目標具體化，知識的構建層次化，思維的活動縝密化，從而獲得較為清晰的新知，也為數學概念的有效教學奠定堅實的基礎[1]．

案例2 人教A版《數學(必修1)》第1.3.1節“函數的單調性”(第1課時)的教學設計片段

教師在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖像獲得信息，第1個圖像從左到右逐漸上升，y隨x的增大而增大，第2個圖像從左到右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，當自變量變化時，若函數值具有這2種變化規律，則將這2種函數分別稱為增函數和減函數．后2個函數圖像有上升和下降，需要分段說明．

問題2 能否根據自己的理解說說什么是增函數和減函數？

圖1

學生的困惑之處是分界點的位置難以確定，因此教師可適時組織學生討論，把研究函數的圖像問題轉化為研究函數的解析式．

問題4 如何從解析式的角度說明函數y=x2在[0,+∞)上是增函數？

在教學中，首先組織學生分組探究，然后全班交流，相互補充，并對學生的想法作出及時評價，對其中出現的主要問題進行討論，讓學生在辨析中達成共識．

問題5 判斷下列命題是否正確：

1)定義在R上的函數f(x)滿足f(x)>f(1)，則函數在R上是增函數；

2)定義在R上的函數f(x)滿足f(x)>f(1)，則函數在R上不是減函數；

4)若函數f(x)在(2,3]和(3,4)上均為增函數，則函數f(x)在(2,4)上為增函數；

通過上述問題串的設計、探究，學生經歷了從特殊到一般、從定性分析到定量分析，培養了學生的能力，也順利解決了本節課的學習重點和難點．

3 運用變式探究，激活學生思維

高三數學復習，特別是二輪復習，為了提高課堂教學的有效性和針對性，讓學生有更多時間關注本質問題和問題的本質，提煉通性通法，教師可通過變式教學，在變中求進、進中求通，從而實現課堂效率的最大化．

在二輪復習“離心率”專題中，根據復習教學的目標和學情，筆者給出下面的例題，之后提出一系列的問題變式，對學生進行強化訓練．

( )．

(答案：A.)

通過上述題組的變式教學，引導學生運用類比、猜想、特殊和一般化的思想方法，探索問題的變化規律，揭示問題的本源，強化學生的探究意識，進而培養學生的思維能力.

4 變換思維視角，提高解題能力

數學解題教學的真正價值在于教師設置問題時應從學生的心理層面出發，關注學生探究數學知識的心理過程，做好相應的教學設計，對典型問題解法的探究有助于加深學生對數學問題的理解，發揮其想象力和創造力．

圖2

(2011年北京市數學高考理科試題第19題)

分析 試題表述簡潔，考查的重點是思維及運算能力.本題的關鍵是如何處理好直線、單位圓和橢圓的位置關系，把問題轉化為尋找變量之間的函數關系，最后歸結為求函數的最值問題.那么，如何構造滿足題意的函數呢？可從以下6個視角切入并展開分析．

視角1 解析幾何題要充分利用幾何條件，發現幾何規律、簡化解題方案．在本題中，教師可用幾何畫板先探究△ABF的周長(注：點F是橢圓的右焦點)是定值，再引導學生證明.解題過程要善于挖掘出這一隱含條件，通過△ABF周長為定值來搭建橋梁，最后求出|AB|的最大值．

視角2 題中直線與單位圓相切，通過分析、推理可得|AB|=2S△ABD，借助面積關系可以求|AB|的最大值．

視角3 設切線方程為x=ty+m(不可能為水平直線)，直線與圓相切得到m2=t2+1，通過直線與橢圓方程聯立得出弦長|AB|關于m的函數關系式,再結合基本不等式求出最大值．

視角4 設切點為P(x0,y0)，則切線方程為x0x+y0y=1，下面分析同視角3．

視角5 解決解析幾何問題，可利用參數、向量、三角等手段處理，利用直線和橢圓方程的參數幾何意義來求距離的最大值．

從以上6個視角的分析可以看出，解析幾何的本質特征是幾何問題代數化，要學會透過幾何問題的表征抓住問題的本質，通過多元聯系形成解題的多元化.因此，教師在平時的教學中要找準問題，精準發力.

5 強化縱向探究，優化思維品質

高效課堂應該構筑縱向探究的高地，學生思維品質的原野才能郁郁蔥蔥.因此，教師的教學應該是在問題呈現之后，引導學生不斷地思考、分析、探索和解決問題，引導學生深入地挖掘、探究問題.

性質1 圓的弦AB的斜率與其中點M和圓中心O連線的斜率之積kAB·kOM=-1(定值)．

由上述性質可得如下定理：

定理1 有心圓錐曲線的動弦的斜率與其中點和圓錐曲線中心的連線的斜率之積為定值．

再進一步思考：通過類比，大家猜想一下橢圓中可能還存在哪些斜率乘積為定值呢？比如，例3中橢圓上任意一點P的切線斜率和OM的斜率乘積等.

1)點A，B為雙曲線C上任意的點，P為AB的中點，若AB，OP的斜率存在且不為0，則kAB·kOP是否為定值？

2)點P為C上除頂點外任意一點，過點P的直線l與雙曲線相切．若直線l的斜率為k且不為0，則k·kOP是否為定值？

3)過原點的直線l與雙曲線C交于點A，B，P為C上任意一點．若直線PA，PB的斜率存在且不為0，則kPA·kPB是否為定值[3]？

數學探究的一小步，就是學生的自主意識、探究能力提升的一大步．教師只有通過有效的數學探究，學生的思維能力才能進一步提升，思維品質也將逐步得以優化．

6 重視反思總結，優化思維策略

反思是通向數學創造的捷徑，是發生創新思維的絕佳方式，教師要重視解題反思習慣的培養，重視聯想、類比，讓學生學會思考問題；通過反思改善學生的思路分析能力，優化思維方向與策略的選擇，進一步提升學生的解題思維水平．

從上述例2中不同視角的分析來看，對于相同的條件、不同的角度、不同的理解會產生不同的方法．視角1多次使用了“若點在曲線上，則點的坐標滿足曲線方程”的基本觀點，同時抓住了△ABF周長為定值這一隱含條件，使問題得以突破解決，值得在高考復習中探討；視角2～4通過直線與橢圓方程聯立，借助韋達定理和兩點間的距離公式將|AB|表示出來，并通過均值定理求出最值，雖然運算量較大，但屬于通性通法;視角5、視角6從直線和橢圓的參數角度去分析，方法也較常規．這些視角的分析說明了:解析幾何的求解首先要基于通性通法，其次要注意與其他知識、方法的聯系，如三角代換等．同時，審題中要善于挖掘隱含條件，抓住問題中的關鍵點，這些會切實減少運算量．對于不同的視角及其相應的方法，要進行優劣比較，注意其不同的適用條件，不斷優化思維的方向與策略．

再比如在例3中，教師必須強調方法的共性，要讓學生明白為什么會有類似的結論,尋找這種共性產生的原因，發現相關問題都是二次曲線的本質聯系，從而形成一種系統性的思維視角．學生只有學會總結反思，學會感悟，知識才能內化、遷移為自己所有，才能形成真正的能力.總之，方法不在巧，重在得當，重在反思，善于反思．

荷蘭著名的數學家弗賴登塔指出：“數學知識不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的．”因此在平時的教學中,教師應自覺開展數學探究，創設有利于探究活動的環境，讓問題探究意識的培養真正在課堂中扎根，不斷提高數學課堂的效率，從而提高數學教學的實效性．

[1] 于新華．數學課堂中實施探究的思考與實踐[J]．中學數學教學參考：上旬，2014(12)：14-16．

[2] 王芝平，王坤．高考必做的36道壓軸題[M]．北京：外語教學與研究出版社，2013．

[3] 王尚志，張思明．走進高中數學新課程[M]．上海：華東師范大學出版社，2008．

2017-03-13；

2017-04-14

葉會新(1973-)，男，浙江玉環人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-41-04