窮思竭慮疑無路 柳暗花明又一題*
——例說導數(shù)零點“不可求”的解題策略

●周超艷 (寧波市惠貞書院 浙江寧波 315016)

?

窮思竭慮疑無路 柳暗花明又一題*
——例說導數(shù)零點“不可求”的解題策略

●周超艷 (寧波市惠貞書院 浙江寧波 315016)

文章通過分析導數(shù)零點和符號，研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題．當導數(shù)零點比較難求時，很難借助導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．文章通過例題介紹了猜根、再次求導、數(shù)形結合等8種解題策略，從而使導數(shù)零點“不可求”問題迎刃而解．

導數(shù)；零點；策略

導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值和最值的重要工具，也是浙江省新增的數(shù)學高考必考內(nèi)容之一．筆者通過分析導數(shù)的零點,確定導數(shù)的符號，研究原函數(shù)的單調(diào)性，從而解決與函數(shù)單調(diào)性相關的極值、最值、零點等問題．但也不可避免地遇到導函數(shù)的零點無法通過解方程求得的情形，這就大大增加了解題難度．筆者就導數(shù)零點“不可求”問題，介紹若干解題策略，供大家探討．

1 猜根策略

評注g′(x)=0是一個超越方程，根據(jù)式子特征進行猜根可得x=1．為了防止漏根，可以對導函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的部分式子進行單調(diào)性分析，說明其充要性．

2 再次求導策略

g′(x)=x-lnx-1(其中x>1)．

評注 該題導函數(shù)的零點問題仍是一個超越方程問題，雖然可以猜根得x=1，但需先對g′(x)進行再次求導，進一步確定其單調(diào)性，從而說明g′(x)的符號及證明x=1是g′(x)的唯一零點，最后求得g(x)的最值．

3 數(shù)形結合策略

例3 題同例2

分析 該題已用“再次求導策略”得以求解．事實上，該導數(shù)的零點問題也可以借助數(shù)形結合進行解決.

圖1

lnx=x-1,

易知y=lnx與y=x-1相切于點(1,0)，如圖1，從而

g′(x)=x-lnx-1>0(其中x>1),

評注 數(shù)形結合是求解超越方程的常用方法之一.該題通過分析直線與曲線的位置關系求得g′(x)的零點，也說明了當x>1時導函數(shù)的符號，從而確定了f(x)的單調(diào)性．

4 零點存在性定理策略

(2017年浙江省數(shù)學高考模擬試題第20題)

評注 雖然f′(x)的單調(diào)性易確定，但無法求得其零點．通過零點存在性定理說明f′(x)在[0,1]上的零點情況，從而確定f(x)的單調(diào)性，求得f(x)的最大值．

5 代入轉(zhuǎn)化策略

即證

設h(x)=6x2+lnx-1，則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又

6 代入消參(元)策略

g′(x)=3x2-x+c,

評注 通過代入消參，減少了變量，簡化了函數(shù)．該題雖然可以通過求根公式解得導函數(shù)的零點，但會大大增加求解h(m)取值范圍的運算量．

7 部分代換策略

(ln 2a-lnx)ax+lnx-ln 2a≤0.

設h(x)=(aln 2a)x-axlnx+lnx-ln 2a，由h(x)≤0對所有正數(shù)恒成立可得a>0，且h(x)max≤0．又

且

于是h″(x)在定義域上單調(diào)遞減．當x→0時，h′(x)→+∞；當x→+∞時，h′(x)→-∞，因此存在正實數(shù)x0使得h′(x0)=0，即

因為h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,+∞)上單調(diào)遞減，所以

h(x)max=(aln 2a)x0-ax0lnx0+lnx0-ln 2a，

即

點評 雖然無法解得該導函數(shù)的零點，也不能用策略5、策略6把x0或a進行代換，但通過部分代換，把lnx0轉(zhuǎn)化為關于x0的分式，也能簡化目標式，達到轉(zhuǎn)化的目的．

8 放縮策略

例8 已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3x+1，若x∈[2，+∞)時，f(x)≥0，求a的取值范圍．

評注 先通過必要條件縮小參數(shù)a的取值范圍，再對導函數(shù)進行放縮，化動為靜，從而確定f(x)的單調(diào)性．

綜上可知，求解導函數(shù)的零點問題本質(zhì)就是求解函數(shù)的零點問題，解方程、零點存在性定理、數(shù)形結合是解決該類問題的通法．對于部分超越方程或者含參方程，當通法無法解決時，可以通過代換、設而不求、巧妙轉(zhuǎn)化，亦或是巧搭橋梁、合理放縮，從而使“窮思竭慮疑無路”的導數(shù)題得以“柳暗花明”．

2017-02-14；

2017-03-16

周超艷(1987-)，女，浙江寧波人，中學二級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)06-23-03