妙法共欣賞 疑義相與析*
——武漢市2017屆高三二月調考壓軸試題的解法研究

●李紅春 (武漢市黃陂區第一中學盤龍校區 湖北武漢 430312)

●孔 峰 (武漢市教育科學研究院 湖北武漢 430022)

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妙法共欣賞 疑義相與析*
——武漢市2017屆高三二月調考壓軸試題的解法研究

●李紅春 (武漢市黃陂區第一中學盤龍校區 湖北武漢 430312)

●孔 峰 (武漢市教育科學研究院 湖北武漢 430022)

文章通過對湖北省武漢市2017屆高三二月調考壓軸試題的解法展示，揭示了不等式放縮的特殊技巧，闡述了抓住“問題間前后聯系”和“數學中的基本”來突破解題障礙，同時要注重壓軸試題的命題思想．

壓軸題；單調性；放縮

湖北省武漢市2017屆高三二月調考試卷的導數壓軸題，表述簡潔，涉及高考中的熱點(函數)，蘊含著豐富的數學思想，是一道以能力立意的巧題，其解法思維跳躍性強，具有研究價值，倍受一線教師的關注.筆者通過深入分析，得出了如下方法，供同仁參考．

1 試題及解答

本題第1)小題比較容易，下面重點研究第2)小題的證法：

g′(x)=x-x(-xlnx+1-x)-

(1-x)x-1[-(1-x)ln(1-x)+x]≥0.

(1)

而-xlnx+1-x>0，即需證

(2)

(1-x)1-x≥xx,

(3)

(4)

由第1)小題可知

xlnx-(1-x)ln(1-x)≤0,

而2x-1≤0，從而式(4)恒成立.

綜合式(3)和式(4)可知式(2)成立，故式(1)得證，從而原不等式得證．

xlnx-(1-x)ln(1-x)≤0，

即

xlnx≤(1-x)ln(1-x)，

亦即

-xlnx≥-(1-x)ln(1-x).

-xlnx+1-x≥-(1-x)ln(1-x)+x>0.

又xlnx≤(1-x)ln(1-x)，得

lnxx≤ln(1-x)1-x，

則

xx≤(1-x)1-x，

從而

x-x≥(1-x)-(1-x)>0，

即x-x(-xlnx+1-x)≥(1-x)x-1[-(1-x)ln(1-x)+x]，

亦即

g′(x)≥0，

即

(1-x)lnx>xln(1-x).

從而

于是

F′(x)<0，

故

由第1)小題知xlnx≤(1-x)ln(1-x)，即

lnxx≤ln(1-x)1-x，

亦即

xx≤(1-x)1-x，

即

2 解題感悟

2.1 解題要注意前后問題的聯系

總之，在解題過程中，我們應該反思：通過前面的問題解決，我們能得到什么，要證的問題還需要什么，能否在已知與未知之間尋找聯系想辦法將問題解決；如果割裂了前后問題之間的聯系，也就漠視了命題人設置前面這些基礎問題的良苦用心，解題可能迷失方向[1]．

2.2 要注意壓軸試題與中檔題的區別

面對這道壓軸題，很多師生反映極度不適應.其實，壓軸試題有其獨特的特點，如考查知識點不一定多,但技巧性強,并考查學生的創新思維和綜合運用知識的能力,對解題方向性與途徑選擇的合理性要求要更高[2].

2.3 解題要善于轉化

[1] 李紅春．兩例數列求和不等式證明引發的深刻思考[J]．數學教學研究，2014(9)：44-45．

[2] 李紅春．一道聯賽試題的多視角求解[J]．中學教研(數學)，2014(4)：46-47．

[3] 李紅春．立足函數特征 陳題新掘精彩[J]．數學通訊：上半月，2015(11/12)：2-4．

2017-02-20；

2017-03-21

李紅春(1977-)，男，湖北武漢人，中學高級教師．研究方向：數學教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)06-21-03