概念化教學是改進現代數學教學的有效途徑*

●許欽彪 (稽山中學 浙江紹興 312000)

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概念化教學是改進現代數學教學的有效途徑*

●許欽彪 (稽山中學 浙江紹興 312000)

作者介紹： 浙江省數學特級教師，紹興市首批教授級高級教師.現為浙江省基礎教育課程改革指導委員會成員，教育中心研究員，工作室導師，高校師訓中心高級訪問學者導師，碩士生導師.曾獲全國基礎教育百佳名校長、全國基礎教育科研先進、全國數學競賽優秀指導教師、全國蘇步青數學教育獎，浙江省教壇新秀、先進班主任、“2211”首批名師班優秀學員，紹興市首屆教壇新秀、首屆育人新秀、學科帶頭人、專業技術撥尖人才、學術技術帶頭人、教育科研先進者等.教育科研上獲全國基礎教育科研成果一等獎、全國基礎教育優秀成果一等獎，主持的全國教育科學規劃重點立項課題“讓學生自主學習教學模式的實踐”獲浙江省第4屆教育科研優秀成果一等獎(全省各類院校共10 項)、紹興市人民政府基礎教育成果獎，發表科研論文百余篇，主編教學用書11本.長期致力于數學教學目標、數學思維培養、教學方法和教學評價等方面的研究.治教格言：教學相長.

數學概念教學是數學教學的主要基礎和重要任務，如何進行數學概念的課堂教學，探究更有效的教學方法，對于當前的中學數學教學是必須和有重要意義的.在正確理解數學概念、數學概念形成和數學概念教學的基礎上，文章提出概念化教學，并通過具體的教學實例來闡述概念化教學的課堂教學模式.

概念化教學；思維方式；函數圖像

數學概念是構成數學知識的基礎，正確理解數學概念是學習掌握數學知識和基本數學方法、技能的前提，因而數學概念教學是數學教學的主要基礎和重要任務.由于數學概念的豐富、復雜和抽象，使得數學概念成為教師教學和學生學習的難點.如何進行數學概念的課堂教學，探究更有效的教學方法，對于當前的中學數學教學是必須和有重要意義的.

首先，要正確理解數學概念、數學概念形成和數學概念教學.目前為止，在各種文獻資料中，關于這3個方面還未見準確統一的定義敘述，只有一般性的闡述解釋.綜合各種文獻資料的注釋，筆者進行通俗和簡要地歸納.

1)數學概念，是指人腦對現實事物對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種數學反映形式，即一種數學的思維方式.

2)數學概念形成，是指人們對一類數學對象中若干不同的個例進行反復感知、分析、比較、抽象、歸納，概括出這類數學對象的本質屬性而獲得概念的方式.

3)數學概念教學，是指把數學已有的概念性知識，包括數學名詞、定義、符號、定理、公理、結論、公式和解決問題的基本方法、基本技能等等，通過課堂教學，讓學生認識、理解、掌握和運用.

由此可見，數學概念教學實際上是讓學生對數學知識從認識、理解、掌握到運用的一個思想過程，也是形成數學思想、養成數學思維、把具體問題數學化、提升數學素養的過程.

我們知道，通過簡單、直接認知而接受的知識，往往懶于去深入理解和體會，難有深刻印象，記憶也不會長久，更難以保證牢固掌握和熟練運用.比如，最好的一篇文章、最美的一則故事，即使你多看幾遍，也不會長久深刻地記住，更不能依此寫出自己的好文章、好故事.而如果文章是自己寫的，故事是自己經歷的，就必定能讓你有長久、深刻的記憶.因為這是通過自己的感知、實踐形成的.

概念也是如此，數學概念更是如此.如果教師只是將數學概念特別是一些抽象的概念簡單地傳授讓學生去認知，學生自然會覺得枯燥、乏味，缺乏興趣，從而缺少學習數學的積極性.而如果教師能把形成數學概念的問題情景提供給學生，讓學生自主感知、分析、探究、類比、歸納，通過自身的思維去實踐創造而形成數學概念，這樣的教學方式必定使學生對概念有更深入的理解、更牢固的掌握、更深刻的記憶和更熟練的運用，也能讓學生增加興趣和動力，體會到“數學來源于自然，概念是自然必然的產物”，感悟數學的本質、數學的美好和數學的有用，從而激發學生學習數學的積極性.這樣的概念教學是養成數學思想、培養數學思維、掌握數學知識、提高數學能力、形成數學核心素養的有效途徑.這種概念教學模式可以形象地稱作概念化教學模式.也就是說，把“教概念”轉變為“給出問題情景讓學生自主形成概念”，形成概念的過程就是問題情景概念化的過程.

筆者擇取人教A版教材中幾則常見的數學概念教學片斷，說明概念化教學的一般操作模式，供同行討論批評指正.

1 用概念產生的背景創設情景進行概念化教學

教學內容：集合(選自《數學(必修1)》第1章第1.1.1節).

1.1 主要教學過程

教師給出以下問題情景：學校以學生為教育對象，一般把學生編成以班級為單位進行教學和管理.請同學們用數學思想方法給班級抽象出一個適當的名詞，要求這個名詞不但對其他班級適用，而且對數學中所有的研究對象和群體也適用.

學生們經過單獨思考與合作討論后，形成了一般的數學認識，認為“班級”這個名詞肯定不適合數學中其他的研究對象，而研究對象無論是人還是其他(如數、點、圖形、產品等)組成的群體，表示這個群體的適當名詞可以有“群體”“團隊”“集體”等，這些名詞似乎都有道理，但從數學化角度看又似乎都不是很貼切.

教師適當提示學生：在小學和初中階段，我們已經學過把自然數組成的群體稱為自然數的集合.一個班級實際上就是一些對象(人)組成的集合體(集中合起來).經過這個提示引導和前面學生的思考討論，所有學生都形成了一個統一的名詞概念——集合.

教師進一步提問：集合里研究的對象可以是人、數、圖像、產品等，如何給對象也取個數學化的“名字”呢？師生統一取名為“元素”.

至此，師生共同明確了集合的概念：數學中，把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱集).教師再進一步讓學生以班級為集合例子，探究整理集合的3個特征：

1)班級中的學生是確定的，因此集合的元素是確定的；

2)班級中的學生是互不相同的，因此集合的元素是互異的；

3)班級中學生的順序是不影響班級的，也就是說學生名單順序調一下，仍是這個班級，因此集合與里面的元素順序是無關的(當然，以后在表達集合時，我們還是以習慣性的順序來描述，但每一個元素不能重復表達).

簡言之，集合的3個特征為：元素確定性、元素互異性、元素無序性.教師進一步設問：根據集合的3個特征，2個集合何時相等呢？學生很自然地認識到，當構成2個集合的元素一樣(確定，與順序無關)時，這2個集合相等.

1.2 點評

這樣的教學過程就是以創設問題情景進行概念化教學的過程.這種方式不但讓學生主動積極地參與了概念的形成過程，使之對概念的認識、理解、掌握更深刻，而且鍛煉了學生的數學思想和探究創造精神，同時也使得后續學習關于集合的相關知識變得順理成章和事半功倍.

對于集合的教學，一般教師都是直接給出集合、元素等概念，這看似簡單，實際上這種教學不符合學生的認知規律，也不利于學生形成良好的數學學習方法和數學思維.集合是高中數學的第1課，是學生學習高中數學的起始點.在起始點如何讓學生養成正確的數學學習和數學思維方法，對于3年的高中學習是極為重要和關鍵的.因此，筆者首先借助集合概念化教學的例子，是有益和有意義的.

2 用數形結合創設情景進行概念化教學

教學內容：函數的單調性(選自《數學(必修1)》第1章第1.3.1節).

2.1 主要教學過程

教師給出問題情景：請同學們觀察下面2個函數的圖像(如圖1和圖2所示)，分別指出這2個函數在相關區間內從左到右的變化情況.

圖1 圖2

一般學生都正確地指出了：第1個函數在區間[-2,-1]和[1,2]上是上升的，在[-1,1]上是下降的；第2個函數在區間[-4,-2]和[0,2]上是下降的，在[-2,0]和[2,4]上是上升的.進一步認識到圖像從左到右的上升或下降有幾個相關因素：

1)與區間有關，即上升或下降是就某個區間而言的；

2)區間內的圖像必須存在，即函數有意義或者說在定義域內討論；

3)某個區間內上升，就是對這個區間內的任意左、右2個點，圖像一定是左低右高，下降則一定是左高右低；

4)2個不同的區間沒有可比性，如第1個函數在[-2,-1]和[1,2]上都是上升的，但圖像高低變化沒有可比性.

教師提出要求：請大家把某區間上圖像的上升或下降，與該區間上函數值的大小變化聯系起來，并描述這種變化.學生由圖形到函數值都能認識到：圖像從左到右上升，對應函數值隨x的增大而增大；圖像下降，函數值隨x的增大而減小.

教師進一步要求：請大家結合函數圖像在區間上的變化，將函數在定義域相關區間內的增大、減小這種變化特征，用數學語言歸納為函數的性質.有了以上的基礎準備，一般學生都能自主地描述歸納出函數的這一性質.師生共同整理統一函數的單調性，具體地說：如果對于函數定義域I內某個區間D上的任意2個自變量x1，x2，當x1f(x2)，就稱函數f(x)在區間D上是減函數.

教師結合圖像，強調“定義域內、區間、任意、都有”等關鍵因素，并進一步提問：根據以上單調性的定義，是否所有函數都可以將定義域劃分成若干個相應區間，使函數在每個區間上都有單調性？并舉例說明.

學生思考探索后，師生共同認識下面的幾種函數例子：某個區間上為常數的函數、定義域不是區間的函數，也可以回顧教材第22頁圖1.2和第23頁練習2圖D等給予形象說明.

2.2 點評

這樣的概念化過程，使學生自覺從函數圖像的變化形成了增函數和減函數的概念，有利于深刻印象和牢固掌握.同時，在概念化過程中，潛移默化地取得了以下教學效果：

1)注意到了容易忽視的定義域和區間是討論單調性的前提條件；

2)體現了函數與圖像相輔相成的密切關系，使學生進一步認識圖像的重要性，為利用圖像解決函數問題和后續學習函數性質提供了思想方法；

3)進一步體現了研究數形關系是數學的重要內容和數形結合這一重要的數學思想方法.

值得注意的是，概念化教學時給出的問題情景和提出的有關問題必須目標明確、題意清晰、文字語言精確適當.否則，如果題意不明、設問不當，就容易引起歧義，不但使學生難以形成正確的概念，反而會浪費時間糾纏于無關的猜疑中.

比如，為了說明不是所有函數都有單調性的問題，許多教師經常采用的是以下簡單的設問：

1)是否所有的函數都有單調性？

1.2.2 PPG組排除標準 （1）屈光間質中重度渾濁，（2）伴有非青光眼性視神經病變或視網膜疾病，（3）屈光度球鏡≥±6D、柱鏡≥±2D。

2)舉出沒有單調性的函數.

這2個設問事實上題意模糊，使得學生難以回答.因為單調性是對具體的區間而言的，離開具體的區間，就不能談單調性，如此設問反而使學生忽視了區間對于函數單調性的重要性.筆者在聽課時，就經常見到當教師這樣設問時學生難以思考回答的情景，尤其是自主學習越好的學生越感到困惑.還有學生反問教師：y=x2-2x是否具有單調性？教師說有.這個學生又舉出了教材第23頁練習2的圖D代表的函數，問是否有單調性？教師就無法回答了.

因此教師在設計問題情景時，不能僅以自己的經驗習慣或順理成章的思維，來自以為是地設想學生的思維，要考慮到部分優秀學生的思維或許比你更豐富縝密和準確.當課堂中遇到學生不順從教師原來的設想時，不能忽視或否認學生的正確思維，強迫學生順從教師的思想去學習，這會讓學生產生不信任和厭倦感.

3 用聯想類比創設情景進行概念化教學

教學內容：正弦定理和余弦定理(選自《數學(必修5)》第1章第1.1節).

3.1 正弦定理

3.1.1 主要教學過程

教師給出問題情景：在△ABC中，已知角A，B，C對應的邊長分別為a，b，c，請同學們探究邊長a，b，c與對應角A，B，C的關系.

1)由b=csinB，a=ccosB，a2+b2=c2，得到的仍是邊長關系，不符合要求.

教師指出：直角三角形有這樣對稱美的邊角關系.很顯然，另一類特殊三角形——正三角形也符合這種關系，那么能否推廣到銳角三角形呢？

在此基礎上，學生就既有目標(邊與角的正弦比是否相等)，又有興趣地積極參與到探求之中，而且容易想到借助直角三角形解決問題.

圖3 圖4

圖5

教師進一步設問：如果是鈍角三角形呢？不妨設B是鈍角(如圖5所示).這時，學生們都能大膽地作高CD嘗試：

CD=asin(180°-B)=asinB=bsinA,

同樣有

至此，學生形成了一般三角形中邊角關系的重要概念：邊與對應角正弦比相等.

3.1.2 點評

這樣的概念化過程，讓學生體會了“從特殊情況推廣到一般結論的類比、歸納”等數學推理方法和“從幾何圖形到數量關系”的數學思想，有利于概念的理解掌握和應用，也有利于后續的學習.

值得注意的是概念化的目的是讓學生有效地形成概念.因此在教學過程中，教師應當密切關注學生的思考情況，當觀察到學生無從入手時，要及時予以適當的提示，以保證概念化過程順利、高效地進行.

3.2 余弦定理

3.2.1 主要教學過程

教師給出問題情景：由正弦定理可知，已知△ABC的一些邊長和角，就可以求出其他的邊長和角，即用一些邊長和角可以確定△ABC的大小.請同學們用邊長a，b，c和對應角A，B，C為條件確定△ABC有幾種類型？其中哪些類型可以用已學的正弦定理解決？

學生思考后，提出了各種類型，師生一起歸納后，共識成以下4種類型：

1)已知2條邊1對角，求其余的邊和角；

2)已知2個角1對邊，求其余的邊和角；

3)已知2條邊1夾角，求其余的邊和角；

4)已知3條邊，求3個角.

其中類型1)和類型2)可以用已學的正弦定理解決，類型3)和類型4)不能用正弦定理解決.

教師進一步明確問題情景：從上可見，要完整地解決三角形的邊角問題，僅有正弦定理還是不夠的.請同學們探究類型3)和類型4)的解決方法.

圖6

問題1 在如圖6所示的銳角△ABC中，已知邊長a，b和夾角C，求邊長c.

問題2 已知邊長a，b，c，求角C.

學生經過獨立思考和相互討論后，提出了多種解決方法，其中由于正弦定理概念化教學的良好基礎，大多數學生與正弦定理的推理進行類比、聯想，從而得到了優于教材給出的不同方法：

如圖7，作高AD⊥BC，則

AD=bsinC，CD=bcosC.

在Rt△ADB中，因為

AB2=AD2+DB2=AD2+(BC-CD)2，

所以

c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2,

即

c2=a2+b2-2abcosC.

圖7 圖8

這樣就解決了問題1.教師進一步問：如果C是鈍角呢？

如圖8，同樣有

AD=bsin(180°-C)=bsinC，

CD=bcos(180°-C)=-bcosC,

從而

AB2=AD2+BD2=AD2+(BC+CD)2,

得

c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2，

即

c2=a2+b2-2abcosC.

因此，對一般三角形，這個結論都成立.將此公式變形為

問題2也得到了解決.

也有學生提出了類似于教材給出的方法：利用向量方法或直角坐標系方法，教師給予整理、介紹、點評(略).至此，形成了余弦定理的概念，并明確了用其解決三角形的2類問題.

3.2.2 點評

這種概念化教學明顯增加了學生的學習興趣，調動了學習積極性，使學生主動參與概念的探究形成過程.其概念化過程和結論是學生自主、自覺、自然的類比、聯想、思考、探究得到的，不但自主形成了余弦定理概念，而且思維活躍、方法靈活.在概念化過程中輕松自然地解決了本節課的另一個難點問題，即解三角形的幾種分類、變形和正弦、余弦定理的應用，高效地完成了本節的教學任務.

值得注意的是，在概念化教學過程中，往往能發現學生的思想和方法好于教材給出的，如在本節余弦定理的推導過程中，延續正弦定理的推導方法并利用直角三角形的推導方法就明顯好于教材給出的向量方法和直角坐標系方法.

4 用概念的延續擴展創設情景進行概念化教學

教學內容：任意三角形的三角函數(選自《數學(必修4)》第1章第1.2.1節).

4.1 主要教學過程

圖9 圖10

4.2 點評

這樣的概念化教學過程彌補了教材讓學生被動接受三角函數定義的不足，使得三角函數的概念由學生根據已學知識的延續類比、自主探索而自然形成，從而更有利于概念的牢固掌握，而且關于三角函數后續的相關知識也能自然而然地得到.

比如，由定義形成的過程容易得到正弦、余弦、正切值在各象限內的符號(學生自主填表并探究，表格參見教材第13頁).又由x2+y2=r2，自然得到同角三角函數的2種基本關系式：

總之，概念化教學有利于學生深刻理解、牢固掌握數學知識，提高解決數學問題的能力，認識數學本質，激發學習興趣，形成自主探究、創新創造思想，鍛煉數學思維、數學方法，培養數學核心素養，提升數學教學質量.希望借助本文，拋磚引玉，進一步與同行們討論和實踐.

2017-03-03；

2017-04-03

許欽彪(1962-)，男，浙江紹興人，浙江省特級教師.研究方向：數學教育和教學方法.

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1003-6407(2017)06-01-06