函數思想在解題中的應用

劉彥姍

【摘 要】函數對于數學體系來說就像一把鑰匙，能夠幫助我們打開很多其他問題的大門，函數簡單來說就是一種特殊的映射，是一種特殊的對應關系。通過對函數的介紹了解到函數的大致分類，并對其應用做了簡單的舉例說明。

【關鍵詞】函數；分類；應用

前言

在數學學習中構建起函數思想非常重要，函數就是一種工具，通過一些轉換關系可以把很多問題都用函數關系表示，使得問題簡單化，從而得到解決。善于運用函數思想能夠拓寬解題的思路，幫助我們分析問題，更好的去解決問題。所以要學會用函數思想去思考數學問題。

1.函數的概述

1.1什么是函數及函數思想

函數從其本質上來說是一種對應關系，這種對應關系建立在輸入值與輸出值之間。從集合的角度來說，就是一個集合里的每一項都能從另一個集合里找到唯一的與之對應項，即兩個非空數集上的單值對應，這就體現出了函數的一種特性，一一對應，如圖1-1所示。函數輸入值所在的集合叫做這個函數的定義域（圖1-1中 A），輸出值的集合叫做這個函數的值域（圖1-1中 B）。通常函數用f（x）表示。

A 圖 1-1 B

在我們的數學教材上是這樣定義函數的，設x，y是兩個變量，當x在某個數集D內取任意一個定值，按照某個確定的對應關系f，y都有唯一的值與x對應，那么我們就說x是自變量，y是變量x的函數。我們通常將y是x的函數記作：y=f（x），x∈D。這樣就體現出了構成函數的三要素，定義域、值域、對應法則。

在了解什么是函數之后，我們來討論一下函數思想，函數思想就是一種數學思想，它是一個動態的過程，利用這樣的思想我們能夠分析和解決許多數學中常見的問題。首先要構建起相應的函數模型，找到它們一一的對應關系，去分析、解決問題。所以說，函數思想在很多時候都能簡化我們所遇到的數學問題，我們要學會綜合利用函數思想解答問題。

1.2常見的函數分類及性質

在解題過程中有很多函數是我們常見的函數，包括反函數，隱函數，多元函數，二次函數、一次函數、三角函數。

在解題中我們經常會用到函數的性質，包括函數的有界性、函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的連續性、函數的凹凸性。

2.函數思想在解題中的應用

2.1利用函數圖像解決問題

常用的函數圖像變換有：平移變換、對稱變換、翻折變換。

舉例說明：若f（x）的圖象過（0，1）點，則f-1（x）的圖象過____點，f（x+1）的圖象過____點，f-1（x+1）的圖象過____點。

分析：由于f（x）的圖象與f-1（x）的圖象關于直線y=x對稱，所以f-1（x）的圖象過（1，0）點。

f（x+1）的圖象是由f（x）的圖象向左平移一個單位得到，而f（x）的圖象過（0，1）點，所以f（x+1）的圖象過（-1，1）點。f-1（x+1）的圖象是由f-1（x）的圖象向左平移一個單位得到，而f-1（x）的圖象過（1，0）點，所以f-1（x+1）圖象過（0，0）點。

這道題就是通過平移變換的方法快速找到答案。

2.2利用函數解決數列問題

首先對于什么是數列做一個大概的介紹，數列就是按一定次序排列的一列數。數列是由項構成的，項就是數列中的每一個數。在一個數列中，排在第一位的叫做數列的第一項，以此類推，排在第n位的叫這個數列的第n項。在解決數列的相關問題時候，我們常常采用函數而思維方法，對數列進行分析。

2.3利用函數解決解析幾何的問題

解析幾何就是曲線關系，曲線方程中有兩個相關變量x和y，所以可以構造出函數關系，是問題變得簡單。

舉例說明：過曲線M的右焦點F作直線l，交M于A、B，求AB的最值

所以，函數思想是解決解析幾何問題最快速最有效的方法，而且能夠保證較高的正確率。

2.4應用函數性質求解含參方程

舉例說明：已知P是圓x+y=1上任意一點，點P關于點A（2，0）的對稱點為Q，點P繞圓心O逆時針旋轉900到達R點，問當P點在圓上哪個位置時，線段QR的長度的最大值與最小值各是多少？

解析：設圓x2+y2=1的參數方程為：x=cosθ（O≤θ≤2π）y=sinθ各點參數坐標如圖所示則RQ2=（4- cosθ+sinθ）2+（-sinθ-cosθ）2=16+1+1-8cosθ+8sinθ-2

cosθsinθ+2sinθcosθ=18+（sinθ-cosθ）=18+8sin（θ-r）

∵O≤θ≤2π時sin（θ-cosθ）=1

∴|RQ|max=4此時P（-9，3）θ-=θ= 時sin（θ）=-1

∴|RQ|min=4此時P（4，-3）

要用參數方程來解決這道題目，首先也是要正確地確定參數，并且把直角坐標系中所有點的坐標都用同一個參數準確地表示出來，先利用兩點間的距離公式給出長度的參數表示，并根據參數的范圍，運用三角函數的有關知識，最后通過代數運算來求得長度的最值。

結束語

綜上所述，函數是一門獨立的數學知識，同時又是數學領域中一項有效的工具，在解決很多問題的時候都能夠用到。所以建立起函數思想十分重要，構建起來函數的框架，對其的應用熟練掌握，并且學會擴展思維，能夠做到舉一反三，這樣才能利用好函數思想，幫助我們解決各類能夠轉換為函數關系的問題。

【參考文獻】

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