泰勒公式的幾點簡單應用

易強　呂希元

摘 要 泰勒公式能將較復雜的函數近似轉化為簡單的多項式的處理，再結合導數的知識可以來求解未定式的極限、特殊形式的極限和利用它作函數的證明。

關鍵詞 泰勒公式 極限 導數 皮亞諾余項

中圖分類號：O17 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.03.021

1 定理

設在=0處存在+1階的連續導數，則有：

=++2+…++（），

其中（）=，上式為函數在=0點處的關于的展開式，稱為泰勒公式，其中（）叫皮亞諾余項（Peano）。

證明：作輔助函數：

=2…，易知，在[0，]或者[，0]上是連續的，并且有：=，=0，=。

又引入一個輔助函數：（）=，利用柯西定理可得： = ，而應在0到之間，則有：

=，=0，=（）

=，=0，=（）

將這些結論都代入到由柯西定理得到的等式中得：

=，又由于

==0，

∴（）=

2 常見的初等函數的泰勒公式

當→0時，有：

（1）=1+++…++

（2）=+…++

（3）=1+…++

（4）（1+）=1+++…++

（5）1n+（1+）=+…++

利用如上的一些常用公式可以將一些較復雜的極限變得簡單易求。

3 利用泰勒公式求解未定式及特殊的極限

若在=0處存在階可導，且有帶皮亞諾余項的泰勒公式，即：

=++2+…++

當有：=0時，且有：=+，=+，則有：

==（≠0）。

例1：求=

解：由于+1=，+1（1+24）+，

=（12）（1+2）+=2+

又因為，當→0時，～，從而

==.

例2：求

解：當時，由于1～～，又由1n（1+）=+，從而，

原式==。

利用泰勒公式還可以求解極限中的參數。

例3.確定常數，使：（）=0

解：因為=2= 2++€%^，其中€%^=0，所以=（2）（+）++€%^，由此可知，欲使：

（）=[（2）（+）++€%^]=0，

則有：=2，=。

由此易知，當x→+∞時，曲線=以直線=2為斜漸近線。

4 利用泰勒公式證明函數或導數存在特殊點

有時要證某點滿足某等式時，常常利用泰勒公式，而所要找的點一般為式中的中間值點。

例4：已知在[a，b]滿足三次可導，試證：€HR∈（a，b），有：

=+（）+（）3·（）。

證明：將在=處展開成二階的泰勒公式，再分別取和代入得：

=+（）+（）2+

（）（）3

=+（）+（）2+

（）（）3

滿足，∈（，）從而可得：

=（）+[（）+（）]（）3，

由于[（）+（）]介于（）和（）之間，從而€HR∈（a，b），滿足

（）=，

故：=+（）+（）3（）。

例5.試確定，使極限存在，其中=++…+，≠0，為自然數。

解：令（）=+…+，則有：

==+（）+，其中：=0，由于存在，而

=

=（），

故有=0，所以=。

5 利用泰勒公式證明不等式

通過估計泰勒公式的余項來證明不等式，在近n年的考研數學中常有如下考點，已知有拉格朗日余項型的泰勒公式，例如三階的泰勒公式：

=++2+[+]3，其中∈（0，1）。當對余項作適當估計時就可得相應不等式。

例6：已知在[0，1]上連續，在（0，1）內存在二階的導數，并設==0，且有=2，試證：€HR∈（1，1），使≤。

證：由==0，且=2可知存在最大值點，滿足∈（0，1），當在此點展開可得：=+（）+（）2，其中∈（，）。將=0，=1及=2，且=0代入可得：=+（）+（）2，即：

0=2+a2，∈（0，1）。

同理有：=+（）+（）2，

則0=2+（）2，∈（0，1）。

當0<<時，有=<；當≤≤1時，=≤。綜上可得：∈（0，1），滿足≤。

利用泰勒公式建立了一階導數與二階導數之間的關系。

例7.若在[0，1]二階可微，且有||≤，||≤，，均為非負數，€HO∈（0，1），試證：||≤2a+。

證明：利用二階泰勒公式，€HO∈[0，1]，€HO∈（0，1），有：

=+（）+（）2，其中∈（），

當時，得：=+（）+，∈（），

再令，得：=+（）+，∈（），將上面兩式相減得：

=（）+[]，

即：（）=[]，

從而：|（）|≤||+||+[||+||]≤2+[（1）2+]≤2+[1+]=2+。

所以，|（）|≤2+成立。

例8.已知在（，）內有二階導數，且（）<0，試證：對于（，）內的任意兩個不同的與，且滿足+=1，0<<1的兩個數和，均有>（）+（）。

證明：將在某點利用泰勒公式展開至=1得：

=+（）+（）2，其中∈（a，b），

當=時代入得：=+（）+（）2，∈（，），當令=時代入得：=+（）+（）2，∈（，），將第一式兩邊乘以，然后將第二式兩邊乘以再相加得：

（）+（）=+（+）+（）2+（）2， 令+=代入得：

（）+（）=（+）+[n（）]2+

[m（）]2，

又因為<0恒成立，從而（）+（）<成立。

6 小結

泰勒公式的作用非常巨大，應用也相當廣泛，本文只是從幾個方面介紹了泰勒公式的應用，實際上，泰勒公式在作近似計算方面也是非常實用，而且計算精確度比較高。

參考文獻

[1] 詹婉容，于海.對一道習題的思考[J].高等數學研究，2008.11（1）：105-106.

[2] 華東師范大學數學系. 數學分析（2版）[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3] 毛綱源.高等數學解題方法歸納[M].武漢：華中科技大學出版社，2001：86-89.

[4] 同濟大學數學系.高等數學：上冊[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5] 陳傳璋等.數學分析：上冊[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6] 李永樂等.考研復習全書.數學一[M].北京：國家行政學院出版社，2014.