“圓”中的最值問題探究

高靈敏

圓作為最美的幾何圖形，擁有很多美好的性質(zhì)，作為中考試題的載體，它可以和很多知識(shí)點(diǎn)融合，展示各式各樣的問題.圓中的最值問題便是其中一類.請(qǐng)同學(xué)們欣賞幾例.

例1 （2016·黑龍江）如圖1，MN是⊙O的直徑，MN=4，∠AMN=40°，點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 .

【分析】過A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，由對(duì)稱的性質(zhì)可知[AN]=[A′N]，再由圓周角定理可求出∠A′ON的度數(shù)，再由勾股定理即可求解.

解：過A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，OB，OA′，AA′，

∵AA′關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴[AN]=[A′N]，

∵∠AMN=40°，∠A′ON=80°，∠BON=40°，

∴∠A′OB=120°，

過O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2·2·sin60°=[23]，

即PA+PB的最小值為[23].

【點(diǎn)評(píng)】利用軸對(duì)稱性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

例2 （2015·樂山）如圖3，已知直線y=[34]x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB.則△PAB面積的最大值是（ ）.

A.8 B.12 C.10.5 D.8.5

【分析】直線與x軸、y軸的交點(diǎn)A、B坐標(biāo)可求，AB的長(zhǎng)是定值，C（0，1）是定點(diǎn)，作CE⊥AB，所以當(dāng)P在EC的延長(zhǎng)線與圓C的交點(diǎn)位置Q處時(shí)，△PAB面積有最大值.

解：連接CA，過點(diǎn)C作CE⊥AB，EC的延長(zhǎng)線交⊙C于Q，如圖4.A（4，0）、B（0，-3），

∴AB=5，S△CAB=S△OAB+S△CAO=6+2=8=[12]×5×CE，∴CE=[165]，EQ=[165]+1=[215].

∴△PAB面積的最大值是[12]×5×[215]=[212]=10.5.選C.

例3 如圖5，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn).若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為 .

【分析】要求GE+FH的最大值，而GE+FH=GH-EF，EF作為△CAB的中位線，始終等于[12]AB，是個(gè)定值，那就需要GH最大.

解：如圖6，當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GH有最大值.此時(shí)，E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，即AC也是直徑，AC=14.∴∠ABC=90°，

∵∠C=30°，∴AB=[12]AC=7，

∵點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，

∴EF=[12]AB=3.5，

∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5.

【點(diǎn)評(píng)】確定GH的位置是解題的關(guān)鍵，勿忘圓中最長(zhǎng)的弦是直徑這一基本事實(shí).

例4 如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)A（13，0），直線y=kx-3k+4與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為（ ）.

A.22 B.24 C.[105] D.[123]

【分析】直線y=kx-3k+4必過定點(diǎn)（3，4），記為點(diǎn)D.最短弦CB即為過點(diǎn)D且與OD垂直的弦，再求出OD=5，便可求出BC的值.

解：y=kx-3k+4=k（x-3）+4，當(dāng)x=3時(shí)，y=4，故直線y=kx-3k+4一定經(jīng)過點(diǎn)（3，4），記為點(diǎn)D.

∴OD=5，OB=OA=13.

由于過圓內(nèi)定點(diǎn)D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，∴BC的最小值為2BD=[2OB2-OD2]

=2×[132-52]=24.

【點(diǎn)評(píng)】該題的難點(diǎn)是確定定點(diǎn)（3，4），從函數(shù)關(guān)系式的特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)隨著k值的變化，直線在不停變化，從而與圓的交點(diǎn)B、C也在不停改變，有沒有一個(gè)點(diǎn)可以不受k的影響？所以將y=kx-3k+4=k（x-3）+4這樣整理后，令k的系數(shù)x-3=0，y將不受k的影響.此時(shí)確定定點(diǎn)（3，4）.在圓內(nèi)過一定點(diǎn)的最長(zhǎng)弦是直徑，最短弦是過該點(diǎn)與直徑垂直的弦.

例5 如圖8，定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，AB=8，求PM的最大值是 .

【分析】見弦的中點(diǎn)連圓心得垂直，在四邊形中見對(duì)角都是直角，得出四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且直角所對(duì)的弦是直徑.

解：連接OM，∵M(jìn)為弦CD的中點(diǎn)，∴OM

⊥CD，∵∠OPC=∠OMC=90°，∴O、P、M、C四點(diǎn)共圓.

∴當(dāng)PM=OC為直徑時(shí)，PM最大，最大值為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，三線合一，四點(diǎn)共圓，直徑是最長(zhǎng)的弦，兩點(diǎn)之間線段最短，關(guān)鍵是找出符合條件的CD的位置，題目靈活，有一定的難度.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）