中考中扇環問題分析

董月紅

在兩個同心圓中，任作兩條半徑，它們與圓相交，形成的四邊形我們稱為扇環，如圖1陰影部分.近年來，扇環問題頻頻出現在中考中.有面積問題，弧長問題等，這類中考題大多以現實生活為背景，經常與解直角三角形、方程（組）綜合在一起.對于求陰影面積的有關考題，常用的方法有：直接應用公式法，和差法，割補法等.

例1 （2005·山西）圖2是一紙杯，它的母線AC和EF延長后形成的立體圖形是圓錐.該圓錐的側面展開圖是扇形OAB.經測量，紙杯上開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長EF=8cm.求扇形OAB的圓心角及這個紙杯的表面積.（圖形計算結果用π表示）

【分析】[AB]的長度就是紙杯上開口圓的周長，[CD]的長度就是下底面圓的周長，根據弧長公式可求出OA的長度，∠AOB的度數，從而求出扇環的面積.

解：由題意可知：[AB]的長度為6π，[CD]的長度為4π，設∠AOB=n°，OA=R，則OC=R-8.

由弧長公式得：[nπR180]=6π，[nπ（R-8）180]=4π.解方程組[6×180=nR，4×180=nR-8n.]得[n=45，R=24.]

即扇形OAB的圓心角是45°.

∵R=24，∴R-8=16.

∴S扇形OCD=[12]×4π×16=32π，

S扇形OAB=[12]×6π×24=72π，

S紙杯側面積=72π-32π=40π.

S紙杯底面積=π×22=4π，從而S紙杯表面積=44π.

【評析】對由多部分構成的面積問題，需先明確要計算哪一部分的面積，它可通過哪些圖形進行分割或拼湊而得到.

例2 （2016·黃石）如圖3所示，正方形ABCD對角線AC所在直線上有一點O，OA=AC=2，將正方形繞O點順時針旋轉60°，在旋轉過程中，正方形掃過的面積是 .

【分析】如圖3，正方形繞O點順時針旋轉60°，所掃過的圖形是扇環的面積再加上正方形ABCD的面積.

解：∵OA=AC=2，

∴AB=BC=CD=AD=[2]，OC=4，

S陰影=[60?π?42360]-[60?π?22360]+[2]2

=2π+2.

故答案為：2π+2.

【點評】此題考查了扇形的面積公式、旋轉的性質以及勾股定理，能夠把不規則圖形的面積轉換為規則圖形的面積是解答此題的關鍵.

例3 （2015·宜賓）如圖4，以點O為圓心的20個同心圓，它們的半徑從小到大依次是1、2、3、4、……、20，陰影部分是由第1個圓和第2個圓，第3個圓和第4個圓，……，第19個圓和第20個圓形成的所有圓環，則陰影部分的面積為（ ）.

A.231π B.210π C.190π D.171π

【分析】根據題意求出各個圓環的面積，進而求出它們的和.

解：由題意知，陰影部分的面積為π（22-12）+π（42-32）+π（62-52）+…+π（202-192）=π（3+7+11+15+…+39）=π·5（3+39）=210π，選B.

【點評】本題考查了平方差公式，求自然數和等知識.

例4 （2016·福田二模）如圖5，⊙O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是[AD]上一點，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥CD于點N，點Q是MN的中點，當點P從點A沿[AD]轉動到點D處時，線段PQ掃過的面積為 .

【分析】矩形的對角線相等且互相平分，即MN=OP=2，OQ=1，點P從點A沿[AD]轉動到點D處時，轉動的圓心角為90°，線段PQ掃過的面積是圓心角為90°的扇環.

解：連接OP，由矩形性質知：OP=MN，且它們相交于中點Q，則當點P從點A沿[AD]轉動到點D處時，轉動的圖形是90°扇環.線段PQ掃過的面積為[90?π?22360]-[90?π?12360]=[34]π.

【評析】解題的關鍵是要明確點Q運動的路線是以O為圓心，以1為半徑，圓心角為90°的扇形；點P運動的路線是以O為圓心，以2為半徑，圓心角等于90°的扇形.所以線段PQ運動的路線是以O為圓心的扇環.

例5 （2015·樂山）如圖6，已知A（[23]，2）、B（[23]，1），將△AOB繞著點O逆時針旋轉，使點A旋轉到點A′（-2，[23]）的位置，則圖中陰影部分的面積為 .

【分析】設以O為圓心，以OB為半徑的圓交OA于C，交OA′于C′，則曲邊形ABC的面積等于曲邊形A′B′C′的面積，所以陰影部分的面積等于扇環的面積..

解：∵A（[23]，2）、B（[23]，1），

∴OA=4，OB=[13]，

∵由A（[23]，2）旋轉到點A′（-2，[23]），

∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根據旋轉的性質可得，S曲邊形ABC=S曲邊形A′B′C′，∴陰影部分的面積等于S陰影=[90?π?42360]-[90?π?132360]=[34]π.

【評析】利用分割法將不規則的圖形轉化成規則的圖形，由條件A、A′的坐標求出∠AOA′的度數為90°是解決問題的關鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）