“滾”動中的數學

渠英

數學來源于生活，生活中處處有數學，如“滾”動在生活中處處可見，火車輪子沿鐵軌的滾動，汽車輪子沿筆直的路面滾動等，滾動中蘊含著很多數學規律及知識，下面就硬幣的滾動、三角形的滾動及矩形的滾動三個方面介紹滾動類問題的解法.

一、硬幣的滾動

1.硬幣沿圓滾動.

例1 已知兩圓，其中大圓的半徑是小圓半徑的5倍，將大圓固定，小圓在大圓外面沿大圓無滑動地滾動一周，那么，小圓自身轉運了幾圈？小圓掃過的面積是多少？將大圓固定，小圓在大圓內部沿大圓無滑動地滾動一周，那么，小圓自身轉運了幾圈？

【分析】動圓沿直線滾動和動圓沿定圓滾動的距離實際上就是動圓的圓心移動的距離，抓住這些特點，就能順利地解決相關問題.小圓轉一周所掃過的面積，即為圓環的面積.

解：設小圓的半徑為r，則大圓的半徑為5r.

（1）如圖1（1），當小圓在大圓外面沿大圓無滑動地滾動一周時，OP=5r+r=6r，所以，小圓圓心滾動一周的距離為2π?6r=12πr，所以滾動的圈數為[12πr2πr]=6（圈）；如圖1（2），動圓掃過的為圓環，圓環的半徑是5r+2r=7r，大圓半徑為5r，圓環的面積是π（7r）2-π（5r）2=24πr2.

（2）如圖1（3），當小圓在大圓內部沿大圓無滑動地滾動一周時，OP=5r-r=4r，小圓圓心滾動的距離為2π?4r=8πr，所以滾動的圈數為[8πr2πr]=4（圈）.

【點評】求動圓轉動的圈數時，關鍵求出動圓圓心移動的距離，用此距離除以動圓的周長，即得到動圓所轉動的圈數.

2.硬幣沿折線滾動.

例2 （1）如圖2（1），⊙O作無滑動滾動，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點時刻的位置，⊙O的半徑為r.∠ABC=90°，AB=BC=πr.⊙O從⊙O1的位置出發，在∠ABC外部沿A-B-C滾動到⊙O4的位置，⊙O自轉多少周.

（2）如圖2（2），△ABC的周長為5πr，⊙O從與AB相切于點D的位置出發，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，⊙O自轉了多少周？請說明理由.

（3）如圖2（3），多邊形的周長為5πr，⊙O從與某邊相切于點D的位置出發，在多邊形外部，按順時針方向沿多邊形滾動，又回到與該邊相切于點D的位置，直接寫出⊙O自轉的圈數.

【分析】求圓轉動的圈數時，關鍵是求圓心移動的距離.在折線的外側滾動時，在拐點處移動的距離是扇形的弧長，而扇形的圓心角的度數為180°與兩條折線夾角度數的差.扇形的半徑即為動圓的半徑.

解：（1）如圖2（1），動圓移動的距離為AB+[90πr180]+BC=2πr+[πr2]，所以轉動的圈數為[2.5πr2πr]=[54]（圈）.

（2）∵△ABC的周長為5πr，⊙O在△ABC三頂點A、B、C處轉過的三條弧的中心角分別為：180°-∠A、180°-∠B、180°-∠C，這三條弧的中心角的和為360°，所以三條弧的和為一個圓即為2πr，因此圓移動的距離為5πr+2πr=7πr，所以轉動的圈數為[7πr2πr]=[72]（圈）.

（3）同樣，轉動的圈數為[7πr2πr]=[72]（圈）.

【點評】圓在多邊形的外面滾動時，各拐點處弧的長度的和剛好為動圓的周長.所以滾動的路程為多邊形的周長與動圓的周長的和.

二、三角形沿直線滾動

例3 如圖3（1）所示，邊長為2的等邊三角形ABC的三邊貼著直線l向右滾動一周，等邊三角形ABC的中心O經過的路程是多少？等邊三角形頂點A經過的路程又是多少？

【分析】等邊三角形的中心就是三角形三條中線的交點.三角形滾動時，先繞點C，再繞點A，最后繞點B轉動.中心滾動的路程是中心角為120°的三條弧長度的和.頂點A先繞點C，再繞點B繞轉，滾動的路程是中心角為120°的兩條弧長度的和.

解：如圖3（1），OC=[233]，三角形的中心O滾動的路程為[120π?233180]×3=[43π3].

如圖3（2），頂點A滾動的路程為[120π?2180]×2=[8π3].

三、矩形沿直線滾動

例4 如圖4（1），將邊長為8cm的正方形ABCD的四邊沿直線l向右滾動（不滑動），當正方形滾動一周時，正方形的頂點A所經過的路線的長是 cm.

【分析】解決此類問題的關鍵是找出每一次的旋轉中心，旋轉半徑，旋轉次數.

解：正方形在直線l上滾動時，第一次旋轉中心為C，旋轉半徑是AC，路線長為[90π?82180]=[42]π（cm）；第二次旋轉中心為D，旋轉半徑是AD，路線長為[90π?8180]=4π（cm）；第三次旋轉中心為B，旋轉半徑是AB，路線長為[90π?8180]=4π（cm）.A所經過的路線的長是[42]π

+4π+4π=（8+[42]）π（cm）.

【點評】解決正多邊形的滾動問題時，抓住關鍵的旋轉點，借助于紙片，動手操作一下，可能更便于問題的解決.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）