無中生有巧構(gòu)圓

王冬青

“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是圓”，在解題的過程中，往往會遇到一些看似與圓“無緣”的題目，但若能從題目中捕捉一些與圓有聯(lián)系的信息，添加輔助圓，就能結(jié)合所求結(jié)論與圓的內(nèi)在聯(lián)系，就能利用圓的有關(guān)性質(zhì)找到解題途徑.這種方法往往能使復(fù)雜問題變得簡單，簡單問題變得簡潔.

一、構(gòu)造圓求角的度數(shù)

例1 （2015·威海）如圖1，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為（ ）.

A.68° B.88° C.90° D.112°

【分析】如圖2，由于BA=CA=DA，說明點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)到點(diǎn)A的距離相等，所以點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)在以A為圓心、以AB的長為半徑的圓上.運(yùn)用圓周角定理便可得到∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，結(jié)合已知條件∠CBD=2∠BDC，得到∠CAD=2∠BAC，即可解決問題.

解：如圖2，∵AB=AC=AD，

∴點(diǎn)B、C、D在以點(diǎn)A為圓心、以AB的長為半徑的圓上.

∵∠CBD=2∠BDC，

∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，

∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，

∴∠CAD=88°，故選B.

【點(diǎn)評】抓住BA=CA=DA構(gòu)造圓是解題的關(guān)鍵，另外該題主要考查了用圓周角定理及其推論等幾何知識點(diǎn).解題的方法是作輔助圓，將分散的條件集中.解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓周角定理及其推論等幾何知識點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答.

例2 （2013·江西模擬）如圖3，已知四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)E，若EA=EB=EC=ED，∠BAD

=70°，則∠BCD的度數(shù)為 .

【分析】先由EA=EB=EC=ED，得出A、B、C、D四點(diǎn)在以E為圓心、EA的長為半徑的圓上，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，得出∠BCD=180°-∠BAD.

解：如圖4，∵點(diǎn)E為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且EA=EB=EC=ED，

∴A、B、C、D四點(diǎn)在以E為圓心、EA的長為半徑的圓上，∠BCD+∠BAD=180°，

∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-70°=110°.

【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對角互補(bǔ)，由已知判斷出A、B、C、D四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵.

二、構(gòu)造圓求最值

例3 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿DE翻折△DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，如圖5，則線段AF長的最小值 .

【分析】由于點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，由折紙的過程可以發(fā)現(xiàn)：DB=DF=DC=2，即說明點(diǎn)B、F、C在以D為圓心、以2為半徑的圓上，且點(diǎn)A在圓外，求線段AF長的最小值，而點(diǎn)F在圓上，所以本題相當(dāng)于求“圓外一點(diǎn)到圓的最近距離”.所以當(dāng)A、F、D三點(diǎn)共線時，AF的值最小.

解：如圖6，∵D是BC的中點(diǎn)，

∴DB=DF=DC=2，

即點(diǎn)B、F、C在以D為圓心、以2為半徑的圓上，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=[AC2+CD2]=[13]，當(dāng)A、F、D三點(diǎn)在同一條直線上時，AF的值最小，AF=AD-DF=[13]-2.

【點(diǎn)評】如圖7，圓外一點(diǎn)到圓的最近距離即這點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差（線段PA的長度）；如圖7，圓外一點(diǎn)到圓的最遠(yuǎn)距離即這點(diǎn)到圓心的距離與半徑的和（線段PB的長度）.

例4 如圖8，在銳角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1.點(diǎn)E為線段A1B中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的一個動點(diǎn)，求線段PE長度的最大值與最小值.

【分析】點(diǎn)E是線段A1B的中點(diǎn)，而AB=A1B=4，所以點(diǎn)E的運(yùn)動路徑是以B為圓心、以2為半徑的圓，點(diǎn)P是線段AC上的一個動點(diǎn)，求PE的長度的最小值和最大值，即為求圓外線段AC上一點(diǎn)到圓的最近距離與最遠(yuǎn)距離問題，即B、E、P在一條直線上.所以BE應(yīng)垂直于AC，垂足即為所求P的位置.此時，PE的長度最小，如圖9.當(dāng)B、E、P在一條直線上且P與C重合時，PE的長度最大.

解：如圖9，過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足.

∵△ABC為銳角三角形，∴點(diǎn)D在線段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=[522].

① 當(dāng)P在AC上運(yùn)動至垂足D且E在PB上時，EP最小，最小值為[522]-2；

② 如圖10，當(dāng)P在AC上運(yùn)動至點(diǎn)C，E在CB的延長線上時，EP最大，最大值為2+5=7.

例5 如圖11，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，求點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離.

【分析】點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，AC=4，點(diǎn)O到AC的中點(diǎn)的距離不變（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.要求OB的最大值，根據(jù)相對運(yùn)動，可將B點(diǎn)當(dāng)作定點(diǎn)，O看作動點(diǎn)，點(diǎn)O在以AC為直徑的圓上，實(shí)質(zhì)上還是轉(zhuǎn)換成求“圓外一點(diǎn)到圓的最大距離”問題，所以，當(dāng)B，AC的中點(diǎn)，O在一條直線上時，點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離最大.

解：如圖12，∵∠AOC=90°，AC=4，設(shè)AC的中點(diǎn)為D，∴點(diǎn)O在以AC為直徑的⊙D上，BD=[BC2+CD2]=[22+22]=[22].

∴當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線時，OB取得最大值[22]+2.

小試身手

1.已知邊長為2的正三角形ABC，兩頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時，點(diǎn)C在第一象限，求OC長的最大值.

2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=2，將△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C.點(diǎn)P是線段AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E為線段A1C的中點(diǎn)，求線段PE長度的最小值.

3.（2014·北京）如圖13，在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F.用等式表示線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（提示：由AD=AB=AE構(gòu)造以A為圓心、以AB為半徑的圓.）

4.在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=BD=BC=5，DC=[19]，求AC的長.（提示：由AB=BD=BC=5構(gòu)造以B為圓心、以5為半徑的圓.）

（作者單位：江蘇省豐縣順河中學(xué)）