兩招定切線解題特方便

陳煥芬　王鋒

直線與圓有一種特殊的位置關系，那就是——相切，如何判定一條直線是圓的切線，有兩種常見判定方法：①到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線；②經過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

一、無公共點，作“垂線”，證“等于半徑”

例1 如圖1，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中點，以點O為圓心的⊙O與AC相切于點D.求證：⊙O與AB相切.

【思路突破】根據切線的性質可知⊙O的半徑OD⊥AC，根據“圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線”，只需證明點O到AB的距離等于OD即可.

證明：如圖1，連接AO，OD，過點O作OE⊥AB于點E.∵AC是⊙O的切線，切于D，

∴OD⊥AC.

∵AB=AC，O是BC的中點，

∴AO平分∠BAC.

又∵OD⊥AC，OE⊥AB，

∴OD=OE，∴⊙O與AB相切.

【點評】由于題目未明確指出AB與⊙O是否有公共點，只需過圓心作直線AB的垂線段，證明垂線段的長等于半徑即可.

例2 如圖2，在以O為圓心的兩個同心圓中，AB經過圓心O，且與小圓相交于點A、與大圓相交于點B.小圓的切線AC與大圓相交于點D，且CO平分∠ACB.

（1）試判斷BC所在直線與小圓的位置關系；（2）試判斷線段AC、AD、BC之間的數量關系.

【思路突破】（1）根據題意無法判定線段BC所在直線與小圓是否有公共點，因而可以選擇判定方法①.為此可過點O作BC所在直線的垂線段OE，只需證明OE=OA（⊙O的半徑）即可.

（2）由（1）可知CA=CE，只需說明BE=AD，便可以猜想到AC+AD=BC.

解：（1）BC所在直線與小圓相切.

理由如下：過圓心O作OE⊥BC，垂足為E，

∵AC是小圓的切線，AB經過圓心O，

∴OA⊥AC，

又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE=OA，

∴BC所在直線與小圓相切.

（2）AC+AD=BC.

理由如下：連接OD.∵AC切小圓O于點A，BC切小圓O于點E，∴CE=CA.

∵在Rt△OAD與Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，∠OAD=∠OEB，∴Rt△OAD≌Rt△OEB，

∴EB=AD，∴BC=AC+AD.

【點評】證明線段之間的和差關系，通常是在長線段上截取一段等于短線段，再證剩余的線段等于另一條線段即可.

二、連“半徑”證“垂直”

例3 如圖3，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點M，弦MN∥BC交AB于點E，ME=1，AM=2，AE=[3]，求證：BC是⊙O的切線.

【思路突破】BC經過半徑OB的外端，因此只需證明OB⊥BC即可.

證明：∵ME=1，AM=2，AE=[3]，

∴△AME是直角三角形.

又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°.

∴BC是⊙O的切線.

【點評】當已知三角形的三邊的長度時，可以根據“兩短邊的平方和等于最長邊的平方”，來說明此三角形為直角三角形，進而確定線段互相垂直的關系.

例4 如圖4，⊙O的直徑為AB，點C在圓周上（異于A，B），AD⊥CD.

（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；

（2）若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線.

【思路突破】（1）直徑所對的圓周角為直角，利用勾股定理求得AC=4；（2）連接OC，證OC⊥CD即可.

解：（1）略.

（2）證明：連接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，

又∵AC是∠DAB的角平分線，

∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，又∵AD⊥DC，∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切線.

【點評】要證直線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可.

例5 如圖5，已知直角坐標系中一條圓弧經過正方形網格的格點A、B、C.

（1）用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置；

（2）若A點的坐標為（0，4），D點的坐標為（7，0），求證：直線CD是⊙M的切線.

【思路突破】（1）連接AB、BC，根據網格畫出它們的垂直平分線，其交點就是圓心M的位置.（2）欲證直線CD是⊙M的切線，只需證∠MCD=90°即可.

解：（1）如圖6.

（2）證明：由A（0，4），可得小正方形的邊長為1，從而得C（6，2）.如圖6，設過C點與x軸垂直的直線與x軸的交點為E，連接MC，作直線CD.

∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，

在Rt△CEM中，∠CEM=90°，

∴MC2=ME2+CE2=42+22=20.

在Rt△CED中，∠CED=90°，

∴CD2=ED2+CE2=12+22=5，

∴MD2=MC2+CD2，

∴∠MCD=90°，又因為MC為半徑，

∴直線CD是⊙M的切線.

【點評】以網格為背景的問題，要充分發揮網格中的平行與垂直關系，挖掘出隱含的直角三角形、矩形、正方形及全等三角形等基本的圖形，以便利用其基本圖形的性質，幫助我們解決相關的問題.

（作者單位：江蘇省豐縣實驗中學）