“圓”中滲透的數學思想

趙傳東

數學思想是人們對數學活動經驗的概括和總結，是數學基礎知識及基本技能的本質體現，是數學知識的提煉、升華和結晶，是解決數學問題的靈魂.本文就帶你到“圓”形世界去挖掘其中所蘊含的分類思想和轉化思想，領略其美麗的風采.

一、圓中的分類思想

由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，在沒有明確圖形位置的情況下，符合題意的圖形可能有多種.因此在本章中應注意圓的問題的多樣性，不要忘記分情況討論.

1.點和圓位置關系中的分類討論.

例1 如圖1，直線AB與⊙O相切于B點，C是⊙O與OA的交點，點D是⊙O上的動點（D與B、C不重合），若∠A=40°，則∠BDC的度數是（ ）.

A.25°或155° B.50°或155°

C.25°或130° D.50°或130°

【分析】點D可以在劣弧上，也可以在優弧上.

解：當點D在優弧BC上時，如圖1，連接OB，∵直線AB與⊙O相切于B點，∴∠OBA=90°，∠AOB=50°，∠BDC=[12]∠AOB=25°；

當點D在劣弧BC上時，即在D′點處，如圖1，∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=155°.

∴∠BDC的度數為25°或155°.

【點評】本題考查了切線的性質、圓周角定理以及圓的內接四邊形的性質.由于點D既可在優弧BC上，也可在劣弧BC上，所以要分兩種情況討論.

2.直線和圓位置關系中的分類討論.

例2 如圖2，平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（ ）.

A.1 B.1或5 C.3 D.5

【分析】⊙P可以在y軸的左邊也可以在y軸的右邊.

解：當⊙P位于y軸的左側且與y軸相切時，平移的距離為1；當⊙P位于y軸的右側且與y軸相切時，平移的距離為5.故選B.

【點評】本題主要考查了切線的性質的應用等知識，由于圓P在運動過程中，既可能和y軸左邊相切，也可能和y軸右邊相切，所以要分情況討論.

3.圓與圓位置關系中的分類討論.

例3 以O為圓心的兩個同心圓中，大圓與小圓的半徑分別為3cm和1cm，若圓P與這兩個圓都相切，則圓P的半徑為 .

【分析】圓P既可以和小圓內切同時也可以和小圓外切.

解：①若圓P與小圓外切，如圖3（1），此時圓P的半徑=[12]（3-1）=1（cm）；

②若圓P與小圓內切，如圖3（2），此時圓P的半徑=[12]（3+1）=2（cm）.

【點評】本題主要考查圓與圓的位置關系，雖然圓P只能和大圓內切，但和小圓既可內切，也可外切.所以兩圓相切，應分情況討論.

二、圓錐中的轉化思想

例4 如圖4所示，圓錐的母線OA=8，底面的半徑r=2，若一只小蟲從A點出發，繞圓錐的側面爬行一周后又回到A點，則小蟲爬行的最短路線的長是 .

【分析】將圓錐沿一條母線剪開，其側面展開圖是一個扇形，小蟲從A點出發，繞圓錐的側面爬行一周后又回到A點，爬行的最短路線的長實際上是扇形中弦AB的長度.[AB]的長度就是圓錐的底面周長.

解：圓錐側面展開圖扇形的圓心角n=[rl]×360°=[28]×360°=90°，所以△OAB是直角三角形，根據勾股定理得AB=[82+82]=[82]，即最短距離為[82].

【點評】對于立體圖形研究兩點間的最短距離，往往是先把立體圖形展開成平面圖形，再根據“在平面內兩點之間線段最短”的性質解決.解決的關鍵是明確展開前后有關圖形的對應關系.

例5 如圖5，在Rt△ABC中，AC=BC=[22]，若把Rt△ABC繞斜邊AB所在的直線旋轉一周，則所得幾何體的表面積為（ ）.

A.4π B.[42π] C.8π D.[82π]

【分析】Rt△ABC繞斜邊AB所在的直線旋轉一周形成兩個圓錐，而且兩個圓錐的形狀完全相同.求所得幾何體的表面積的關鍵是求出錐體的底面半徑.

解：∵∠ACB=90°，AC=BC=[22]，∴AB=[222+222]=4，Rt△ABC繞斜邊AB所在的直線旋轉一周所形成的幾何體是由有公共底面的兩個相同圓錐構成，其底面半徑為2，母線長為[22]，圓錐的側面展開圖是扇形，此扇形的弧長是圓錐的底面圓周長，即為2×π×2=4π，半徑是圓錐的母線長[22]，根據扇形的面積公式可求得這個圓錐的側面積為[12]×4π×[22]=[42]π，所以幾何體的表面積為[42]π×2=[82]π.故選D.

【點評】繞直角三角形的斜邊旋轉，首先要搞清直角三角形的直角邊是圓錐的母線，斜邊上的高是圓錐的底面圓半徑.所以明確圓錐側面展開圖的扇形的弧長、半徑與圓錐的底面圓周長、母線的對應關系是解決本題的關鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）