勾股定理在圓中的應(yīng)用

史新景

勾股定理是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，在有關(guān)幾何的證明與計(jì)算題中到處可以看到它的身影，在圓的世界中更是如此.本文通過以下幾個(gè)實(shí)例說明勾股定理在圓中有著廣泛的應(yīng)用.

一、勾股定理與垂徑定理

例1 如圖1所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，現(xiàn)計(jì)劃安裝玻璃，請(qǐng)幫工程師求出[AB]所在圓的半徑.

【分析】弦心距用半徑來表示是解決問題的關(guān)鍵，設(shè)半徑為r，則弦心距為r-1，根據(jù)勾股定理可得方程r2=[32]2+（r-1）2，從而問題得解.

解：∵OE⊥AB，∴AF=[12]AB=[32]（m），

設(shè)AO=r，則OF=r-1，

在Rt△AOF中，AO2=OF2+AF2，

即r2=[32]2+（r-1）2，∴r=[138].

[AB]所在圓的半徑為[138]m.

【點(diǎn)評(píng)】此類題目中垂徑定理與勾股定理如影相隨，通常采用把半弦、弦心距、半徑三者放到同一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理解答.

二、勾股定理與切線長(zhǎng)定理

例2 如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5， Rt△ABC的內(nèi)切圓O與三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，半徑r=2，求△ABC的周長(zhǎng).

【分析】見切點(diǎn)，連半徑，得垂直，連接OE，OF，得到四邊形OECF為正方形，CE=CF=r=2，因?yàn)锽C=5，所以BF=BD=3，要求三角形的周長(zhǎng)只需要求出AD，AE的長(zhǎng)度，設(shè)為x，在直角三角形中運(yùn)用勾股定理即可求解.

解：連接OE、OF，設(shè)AD=x，則AE=AD=x，

∵點(diǎn)D、E、F是切點(diǎn)，∴OE⊥AC，OF⊥BC，

又∵∠C=90°，OE=OF，

∴四邊形OECF為正方形，

∵⊙O的半徑為2，BC=5，

∴CE=CF=2，BD=BF=3，

在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，

即（x+2）2+52=（x+3）2，∴x=10，

∴AC=12，AB=13，

∴△ABC的周長(zhǎng)為12+5+13=30.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線長(zhǎng)定理、正方形的判斷和勾股定理的應(yīng)用，連接OE、OF，構(gòu)造正方形OECF是解題的關(guān)鍵.

三、勾股定理與內(nèi)切圓

例3 某新建小區(qū)要在一塊等邊三角形的公共區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)圓形花壇.

（1）若要使花壇面積最大，請(qǐng)你在這塊公共區(qū)域（如圖3（1））內(nèi)確定圓形花壇的圓心P；

（2）若這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為18m，請(qǐng)計(jì)算出花壇的面積.

【分析】（1）在△ABC內(nèi)作一個(gè)內(nèi)切圓，則此圓面積最大，點(diǎn)P為角平分線的交點(diǎn).（2）注意到Rt△BPD一個(gè)銳角為30°，BP=2PD，再利用勾股定理問題就迎刃而解了.

解：（1）見分析如圖3（2）；

（2）在Rt△BPD中，BD=9m，∠PBD=30°，設(shè)PD=x，則BP=2x，由勾股定理得：x2+92=（2x）2，解得 x1=[33]，x2=-[33]（舍），

∴花壇的面積為π?（[33]）2=27π（m2）.

【點(diǎn)評(píng)】要使花壇的面積最大，作出三角形的內(nèi)切圓即可.

四、勾股定理與正多邊形

例4 一個(gè)亭子的地基是半徑（外接圓半徑）為8m的正六邊形，求地基的周長(zhǎng)與面積.

【分析】正六邊形的中心角是60°，易知△OBC是正三角形，邊長(zhǎng)等于半徑，周長(zhǎng)為半徑的六倍，正六邊形的面積為△OBC面積的六倍.

解：連接OB、OC，∵∠BOC=60°，

∴△OBC是正三角形，∴BC=OB=8m，

∴正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)=6×8=48（m）.

過O作OG⊥BC于G，

∴BG=[12]BC=[12]×8=4，

在Rt△BOG中，由勾股定理得

OG=[BO2-BG2]=[82-42]=[43]，

∴S△OBC=[12]BC?OG=[12]×8×[43]=[163]，

∴S=6S△OBC=6×[163]=[963]（m2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正六邊形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵.

五、勾股定理與切線

例5 （2016·哈爾濱）如圖5，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥l，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E，連接OC、BE.若AE=6，OA=5，則線段DC的長(zhǎng)為 .

【分析】OC交BE于F，如圖5，由圓周角定理得到∠AEB=90°，加上AD⊥l，則可判斷BE∥CD，再利用切線的性質(zhì)得OC⊥CD，則OC⊥BE，可判斷四邊形CDEF為矩形，所以CD=EF，接著利用勾股定理計(jì)算出BE，然后利用垂徑定理得到EF的長(zhǎng)，從而得到CD的長(zhǎng).

解：OC交BE于F，如圖5，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AD⊥l，∴BE∥CD，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，

∴四邊形CDEF為矩形，

∴CD=EF，

在Rt△ABE中，BE=[102-62]=8，

∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué) ）