養成習慣 克服定式
——談數學解題過程中因定式造成的偏差校正

□吳志鵬

（德化第一中學，福建德化 362500）

養成習慣 克服定式
——談數學解題過程中因定式造成的偏差校正

□吳志鵬

（德化第一中學，福建德化 362500）

數學解題過程中的定式包含思維定式，圖形定式，解題的方向、順序、步驟、模式、方法等多種類型的定式.要克服定式造成的解題偏差，應養成良好的審題、作圖、解題、思維、反思等習慣.

定式；解題偏差；習慣

定式是指由先前的活動造成的一種對活動特殊的心理準備狀態或活動的傾向性，在環境不變的情況下，定式使人能夠應用已掌握的方法迅速地解決問題，而在情境發生改變時，它則會阻礙人采用新的方法，束縛人的創造性.

在數學解題過程中，定式是如何產生的呢？它是通過對一類問題或方法，作多次定向的強化訓練，使得學生能“一見如故”地產生條件反射，不自覺地應用已有的結論或相似的方法解決問題.數學解題過程中的定式包含有思維定式，圖形定式，解題的方向、順序、步驟、模式、方法等多種類型的定式，在條件不變的情況下，定式確實對解題起到很好的幫助作用；可在條件發生改變，哪怕是微小的變化，定式有可能造成解題方向的偏差.要克服定式造成的解題偏差，應養成下面幾種習慣.

一、應養成良好的審題習慣

例1甲去銀行辦理儲蓄業務，已知銀行的營業時間為9：00～17：00，設甲于當天13：00～18：00之間的任一時刻去銀行的可能性相同，那么甲去銀行恰好能辦理儲蓄業務的概率為（）.

分析 變量的維數是判斷問題是何種幾何概型的關鍵，再利用“一維空間線段比、二維空間面積比、三維空間體積比”求相應概型的概率.本題的變量是時間，很多學生在題目中發現兩個時間誤認為是二維變量而用面積比進行求解.這是錯誤的，錯誤在于存在“兩個時間即是二維”這種定式思維.其實銀行的營業時間9：00～17：00并非變量，而甲當天13：00～18：00之間的任一時刻去銀行，這個時間才是變量，理解了這一點，易知本題乃一維型的幾何概型，其概率為甲去銀行能辦理業務的時間長度4小時與甲去銀行的時間長度5小時的比值即4∶5，選擇D.

例2（由2015年山東高考題改編）在區間[0,2] 上 隨 機 取 一 整 數 x，則 事 件發生的概率為（ ）.

分析 大部分學生選擇錯誤的答案A，造成解題偏差的原因是：學生見到題目中的區間[0,2]以及不等式化簡的結果得x所在的區間為聯系幾何概型的概率可用區間的長度進行表示，并由此而產生的定式，即用幾何概型求解，得到的錯誤結論.本題實際為古典概型，即在區間[0 ,2]取一整數有0、1、2三種情況，而滿足條件的只有0、1兩種情況，所以P=，選擇B.

上述兩例均是由概念或條件的相似或相近而引發的定式導致的解題偏差，因此在解題時，應鍛煉學生在接收題目信息時，不急于作出判斷，把一些數或式的特征不假思索地聯系起來，而要先花時間去閱讀、審題，厘清知識要點，少一些“先入為主”的思想.克服定式造成的解題偏差應養成良好的審題習慣.

二、應養成良好的作圖習慣

∴f(x)min=f(10)＜0，

∴f(x)僅有兩個零點.

觀察學生對已知函數求導后作出的草圖，即只有一個極小值點，且極小值小于零的圖象為圖1，從圖象可直接獲得 f(x)的圖象與x軸僅有兩個交點，即僅有兩個零點.這是一個典型的由開口向上二次函數的圖象的形態特征產生的圖形定式造成的解題偏差，實際上函數有唯一極小值點且在x軸的下方，此時函數圖象，有如圖1到圖4四種情形而不僅僅是圖1的情況.

圖1

圖2

圖3

圖4

由此本題的解答還應做以下的補充：

∴f(1)×f(10)＜0.

∵x∈(1,10)，f(x)的圖象單調遞減，∴x∈(1,10)，f(x)有唯一零點.

同理：

f(10)×f(e4)＜0.

∵x∈(10,e4)，f(x)的圖象單調遞增，

∴x∈(10,e4)，f(x)有唯一零點.

綜上可得，f(x)僅有兩個零點.

《水利工程混凝土耐久性技術規范》提出的水利工程混凝土設計、施工、運行管理等階段的耐久性技術要求，有利于促進資源節約利用，提高水利工程興利減災效果，有利于更好地實現水利工程設計使用年限目標，適應水利現代化的需要。

要克服圖形造成的定式，在平時作圖訓練時，即使是作草圖也必須謹慎對待而不能隨意馬虎，特別是圖形有多種情況時，作圖時更應該做到“心中有形”.如橢圓、雙曲線不能只作焦點在x軸上的圖形，而拋物線也不能都作開口向右和向上的圖形，這樣很容易造成圖形定式，導致解題時出現偏差，因此要克服之，就必須養成良好的作圖習慣.

三、應養成良好的解題習慣

例4執行如圖5所示的程序框圖，輸出的結果為（ ）.

A.5 B.6 C.7 D.8

分析 記錄每一次運算結果得：①n=8，i=2；②n=31，i=3；③n=123，i=4.不少學生運算到第三次時，就不再往下運算即獲結論i=5，選A.這是錯誤的，正確的答案應為B.導致解題偏差的原因是學生在做算法問題時，對程序結束判定認識的定式，即當n=123不滿足算法結束，那么下一次運算即可滿足，基于這樣一種認識的定式，而造成的解題偏差，實際上因為 n=123是3的倍數，再一次運行得n=119，算法并未結束.因此要克服定式造成的解題偏差，就必須規范解題，不急于下結論，應養成良好的解題習慣.

圖5

四、應養成良好的思維習慣

例5兩戶人家A，B在馬路CD的同側，且分別距馬路CD是4千米和5千米，AB相距7千米，現從馬路上接電到A、B，問電線至少要多長？

分析 對于這樣的問題，大部分的學生會類比下面的數學問題進行求解：A，B兩點在直線CD的同側，且到直線CD的距離分別為4和在 CD上 找 一 點 E，使 得的值最小，并求最小值.即作點A關于直線CD的對稱點A′，連接BA′交直線CD于一點，此點即為我們所求作的點E，此時取得最小值為.本題是由熟悉的幾何原型引發的定式導致解題的偏差.這是一種模型范式的定式，解題時如不加以思考，套用之就會出現解題方向的偏差.這是一個實際問題，拉電線并不一定從CD上的一點直接拉到A，B兩點，本題應轉化成“在銳角三角形ABE內求一點，使得這一點到三個頂點的距離之和最小”[1]，如圖6所示，這一點為三角形的費爾馬點，即這一點對三邊的視角均為120°，找一點O，過O點，OH⊥CD且∠AOB=∠BOH=∠AOH=120°，由此算出距離之和的最小值（結果為10.5）.有興趣的讀者可自行解決.解題時利用定式進行方法類比，要注意條件是否發生變化，模式是否恰當、合理，這樣才能克服定式造成的解題方向的偏差，因此養成良好的思維習慣是很有必要的.

圖6

五、應養成良好的反思習慣

例6 f(x)=log2(x2+ax-a)的值域為R，求實數a的取值范圍.

分析 大部分學生會把真數x2+ax-a＞0恒成立與真數取到一切大于零的實數作等價處理，即Δ=a2+4a＜0，得-4＜a＜0.要克服這類由于思維方向定式造成的解題失誤，平時解題訓練時要有意識地讓學生在解完題時進行及時的反思，對“等價”轉化進行必要的質疑，如可取a=-2代入進行檢驗，得 f(x)=值域為[0,+∞)而非R，因此這個解法是錯誤的.

即(ax-1)(x-b)＞0的解集為(- 1,1)，

轉化得(ax-1)(x-b)=0的根為-1和1，

即ax2-abx-x+b=0的根為-1和1.

所以a+2b=-1或a+2b=1.

本題利用“不等式的解集可轉化為方程的根”這一思維定式解決問題，反思這一轉化是否有條件限制？如果“(ax-1)(x-b)＞0的解集為(- 1,1)”與“(ax-1)(x-b)=0的根為-1和1”是等價的，那么“(ax-1)(x-b)＜0的解集為(- 1,1)”與“(ax-1)(x-b)=0的根為-1和1”是否也會等價？如等價，上述的兩種情形有無區別，又如何進行區別？反思之，可得本題“不等式的解集與相應方程的根”等價是有條件的，還有必要完善，即保證a＜0，所以結論為{a=-1，得a+2b=-1.因此要克服定式造b=1，成的解題偏差，還應養成良好的反思習慣.

［1］鄭馨春.數學解題中的策略性錯誤分析［J］.數學教學，2008（5）：27.