由一道中考題引發的思考

廣東省新興縣蠶崗中學(527423) 王秋

由一道中考題引發的思考

廣東省新興縣蠶崗中學(527423) 王秋

學生解方程的計算能力是數學學習的一種重要能力,在義務教育階段的數學課程中,計算占有很大的比重.學生在學習數學的過程中,要花費較多的時間和精力去學習和掌握關于各種計算的知識及技能.方程是初中數學的一個重要知識點,其思想方法已滲透到數學的各方面,它是解決數學問題的一種重要工具.其中解一元二次方程就是計算能力的一種表現,一元二次方程的解法在應用題、二次函數、圓等知識中都有密切的聯系,是不可或缺的內容.近日,筆者參加2015年云浮中考閱卷,在閱卷過程中,筆者摘錄了一道一元二次方程計算題的種種錯誤解答,通過對考生答題錯誤情況的分析,試圖說明一些教學啟示,以提高學生的計算能力,提高計算的準確率.

題目: 17.解方程:x2?3x+2=0.

本題主要考查一元二次方程的基本解法,可以用配方法、求根公式法、也可以用因式分解法來進行求解.此題設計簡約、大方,難度不大,可以直接用方法解方程,但考試結果不盡人意,本題滿分6分,最終得分3.91分.筆者在閱卷中發現有以下典型的錯誤類型:

錯誤類型1:解:

致錯原因:此解法在學生初初看來沒有什么問題,都按照了配方法的步驟來解題:移項、方程兩邊加上一次項系數一半的平方、配方、用直接開平法解.可是仔細看來,學生對乘方和開方的概念有所誤解,導致本題出現錯誤.

致錯原因:學生用了求根公式法來解方程,解題步驟沒有問題,問題是學生記錯了求根公式,在閱卷過程中,還有學生把根的判別式寫成4ac?b2,或者求根公式沒有分母,或者沒有±.學生對公式的不理解,或者靠死記硬背得到的公式,在緊張的考試氛圍中容易出現錯誤,或者與二次函數的頂點坐標公式混淆.

教學啟示:關于公式結論,一般都采用多練來鞏固公式,或是死記硬背公式等,這樣的方法能取到暫時的成績,但是阻礙學生的數學知識的發展.學生往往知其然而不知其所以然,數學學習不是知識的單純記憶、積累,而是信息的加工、構造、改組的過程,是學生認知結構重組和擴大的過程.關注數學公式的推導過程,讓學生通過感知、猜想、驗證、應用的過程,把握數學本質,在公式的推導過程中應多花點時間,力求理解公式的得來.求根公式就是用配方法推導出來的,如果學生能理解了整個推導過程,這個公式也差不多記得了,教師再通過練習鞏固公式就好.同時,用配方法推導求根公式的方法還是推導二次函數頂點坐標公式的基礎,打好了這個基礎,也為二次函數的學習奠定了基礎.

錯誤類型3:解:x2?3x=?2,x(x?3)=?2,x=?2, x?3=?2,x1=?2,x2=1.

致錯原因:學生用了因式分解法來解題,但是對因式分解法的定義認識偏差,因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,即A·B=0形式,學生忽略了右邊是等于0的形式,從而導致出錯.

教學啟示:因式分解是多項式的一種重要變形,它是學習分式、根式、方程等許多知識的工具,初學因式分解時,有些同學由于對概念理解不清、方法運用不當,常會犯這樣或那樣的錯誤.針對因式分解有多種方法,教學時可以采用小組合作探究學習.在探究過程中,教師引導學生自己去深入思考、自己動手、自己實踐,使學生在實踐過程中真正掌握基礎知識和基本技能,尋求解決問題的方法.在探究過程中,師生間、生生間一起討論,形成解決問題的途徑,彼此的方法和思考的碰撞,就會引發學生思維的火花,不但加深對知識的理解和掌握,而且在思維的碰撞中有新的發現.這樣,學生對提公因式、公式法、十字相乘法有更深刻的理解,總比老師在不停地講效果要好.當然,少不了相應的練習,讓學生熟練掌握不同形式的多項式用不同的方法,有比較才有進步.

錯誤類型4:解:(x+1)(x?2)=0,x+1=0,x?2= 0,x1=?1,x2=2.

致錯原因:學生用了因式分解的十字相乘法來解,此方法不是考試大綱要求的,但是在八年級上冊課本中,在“閱讀與思考”的內容中出現過,為了擴大學生知識面介紹了一種簡單的形式:x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解.由于分解因數以及十字相乘都有多種情況,所以容易出錯.

教學啟示:代數式的十字相乘法:先分解二次項系數,分別寫在十字交叉線的左上角和左下角,再分解常數項,分別寫在十字交叉線的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代數和,使其等于一次項系數.十字相乘法在解一元二次方程中不是萬能的,要使得Δ=b2?4ac能夠開得盡方才能使用.化方程為一般式,在分解因數以及十字相乘時會有多種可能情況,往往需要經過多次嘗試,才能確定怎樣分解.學生解完題目,提醒學生代入題目檢驗下,是否正確,像這個題目,把x1=?1,x2=2代入方程中發現是錯誤的,如果考試時檢驗的話,還可以糾正,拿到這題目的6分.讓學生養成在解答過程中檢驗的習慣,是保證解答正確性的法寶之一.

錯誤類型5:解:

經檢驗:x1=2,x2=1是原方程的根.

致錯原因:此種寫法的學生,混淆了一元二次方程和代數式解題的書寫格式,方程的變化是等式的變形,等號左右兩邊是恒等的變形,計算過程中的等號,是說明上一個式子與下一個式子是相等的.檢驗是在解分式方程才需要寫上檢驗,整式方程不需要寫出來.上述寫法還反映了學生審題不清,沒有搞清楚是解方程還是化簡代數式.

教學啟示:這種錯誤在學習了代數式的化簡后就容易出現,知識產生了負遷移,我們在教學過程中,一要注意將這種錯誤進行比較,分析錯誤的原因;二要加強對比練習,以引起學生區分鑒別題型,最終達到理解代數式的運算和解方程是兩種不同變形,一種是恒等變形,另一種是等式變形,變形的理由是不一樣的.平時在分析例題時,要具有解題的示范性,尤其是書寫格式,要有規范性.

錯誤類型6:解:

……

致錯原因:心理因素影響,產生筆誤.移項不記得變號、抄題出錯、計算結果粗心寫錯,計算錯,這些錯誤都是致命的,計算過程往往涉及較多步驟,一步錯就會發生連環錯.

教學啟示:在考試的環境下,學生情緒緊張,常常會產生一些“莫名其妙”的錯誤,其中許多就是由于心理因素造成的.解決這種問題,仍然是檢查,方法是一步一回頭,做一步回頭檢查一步,保證一環扣一環是正確的.同時,考前教師對學生進行心理輔導,力爭保持最佳的考試狀態.

總之,教師在數學教學過程中,要注重概念的形成,注重公式的生成,注重方法的運用,注重學生的書寫格式,注重學生的身心健康,注重知識間的聯系.只有教師在教學中多下功夫研究、學習、總結,才能有足夠的能力讓學生學得輕松,才能讓學生在面對中考千變萬化的題目時從容應對.

[1]中華人民共和國教育部制定,義務教育數學課程標準(2011年版)[M],北京:北京師范大學出版社,2012.

[2]課程教材研究所,義務教育教科書,數學(八年級上冊)[J],北京:人民教育出版社,2012.

[3]課程教材研究所,義務教育教科書,數學(九年級上冊)[J],北京:人民教育出版社,2012.

[4]雷玲主編,中學數學名師教學藝術[M],上海:華東師范大學出版社, 2014.