海南省東方市八所中學(xué)(572600) 鄭長喜

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的原則與途徑

海南省東方市八所中學(xué)(572600) 鄭長喜

一、數(shù)形結(jié)合的原則

數(shù)形結(jié)合可以直觀、簡單地解決很多問題,但在轉(zhuǎn)化過程中,應(yīng)遵循以下原則,否則就容易出現(xiàn)錯誤.

1等價性原則

等價性原則是指數(shù)的代數(shù)性質(zhì)與形的幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換應(yīng)該是等價的,即對于所討論的問題,形與數(shù)所反映的數(shù)量關(guān)系應(yīng)具有一致性.有時圖形的局限性、構(gòu)圖時的粗糙和不準(zhǔn)確,將對所討論的問題產(chǎn)生影響,造成解題失誤.

A.1 B.2 C.3 D.4

圖1 例1解圖

2簡單性原則

簡單性原則是指數(shù)形轉(zhuǎn)換時盡可能使構(gòu)圖簡單合理,既使幾何作圖優(yōu)美,又使代數(shù)計算簡潔明了,避免繁瑣的運(yùn)算.

分析 本題原解是構(gòu)造直角梯級折線.實(shí)際只需運(yùn)用復(fù)數(shù)中最普通的不等式|z1|+|z2|+|z3|≥|z1+z2+z3|(其中z1,z2,z3∈C)即可證得.

二、數(shù)形結(jié)合的途徑

數(shù)形結(jié)合是一柄雙刃的解題利劍,那么,如何進(jìn)行有效的數(shù)形轉(zhuǎn)換?數(shù)形結(jié)合的思考途徑有哪些呢?

1由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換途徑

(1)絕對值問題?？赊D(zhuǎn)化為數(shù)軸上點(diǎn)的距離問題

例3 在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中,用不同的x值代入,得到對應(yīng)的值,在這些對應(yīng)值中,最小值是()

A.1 B.2 C.3 D.4

(第三屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽)

解答 原問題可轉(zhuǎn)化為:在數(shù)軸上有四個點(diǎn) A,B, C,D,其對應(yīng)的值分別為?1,?2,?3,?4,求一點(diǎn)P,使得PA+PB+PC+PD最小.如圖21,

圖2 例3解圖

當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時,PA+PD取得最小值3;當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時,PB+PC取得最小值1.因此PA+PB+PC+PD最小值為4,故選D.

(2)方程或不等式問題?？赊D(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)或位置關(guān)系的問題,并借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題

解答 令y=x2+|2x?4|,只要作出函數(shù)y=x2+|2x?4|的圖象即可,當(dāng)x≥2時,y=x2+2x?4;當(dāng)x≤2時,y=x2?2x+4.如圖3,

圖3 例4解圖

顯然,p的最大值是3.

(3)利用平面向量的數(shù)量積及模的性質(zhì)來尋求數(shù)式的幾何性質(zhì)

(4)利用解析幾何中的曲線與方程的關(guān)系、重要的公式(如兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、直線的斜率)等來謀求數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)

圖4 例6解圖

(5)構(gòu)造幾何圖形

例7 同例6.

圖5 例7解圖

2由形到數(shù)的轉(zhuǎn)換途徑

(1)解析法.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(直角坐標(biāo)系,極坐標(biāo)系),引進(jìn)坐標(biāo),將幾何圖形變換為坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系.在此不再舉例.

(2)三角法.將幾何問題與三角溝通,運(yùn)用三角知識獲得探求結(jié)論的途徑.

(3)向量法.向量法即將幾何圖像向量化,運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題,化抽象的幾何推理為精確的代數(shù)運(yùn)算,特別是運(yùn)用空間向量、平面的法向量等工具解決立體幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題時,更是使問題的解決變得有章可循,有路可走,這方面的例子在近幾年來的高考試題中很多,這里從略.