讓“數學抽象”素養在“概念教學”中落地

江蘇省新沂市高級中學(221421) 晁豐成

讓“數學抽象”素養在“概念教學”中落地

江蘇省新沂市高級中學(221421) 晁豐成

從提出高中數學的六大核心素養開始,“數學核心素養”問題就受到高中數學教育界的普遍關注,有關“數學核心素養”的理論探索和研究成果層出不窮.其中“數學抽象”位于六大核心素養之首,是優先研究的對象,史寧中教授是這樣表達的:“數學在本質上研究的是抽象的東西,數學的發展所依賴的最重要的基本思想就是‘數學抽象’.”眾所周知,數學概念是一切數學知識的基礎,是數學思維存在和產生的基本形式,本質上數學概念的形成過程就是數學思維的形成過程,也就是數學素養的形成過程.李邦河院士是這樣評價的的:“數學的根本在于概念,而不在于技巧,一定程度上,數學技巧也是數學概念的一部分.”如何在概念教學中精心設計問題,帶領學生從具體事實出發,抽取出一類數學現象的共同屬性或本質屬性,從而形成數學概念,考驗著教師對“數學抽象”素養的理解和和對課堂生態的把握,影響著學生對數學本質的感受及數學整體素養的提升.鑒于此,如何讓“數學抽象”素養在高中數學課堂中落地生根,是每一位高中數學教育工作者都要面對的重要課題.本文從兩個案例出發,結合教學實踐,就上述問題作出淺薄思考.

案例1:(聽課:江蘇師大課改實驗項目“學講方式下高效教學實踐”研討課課堂實錄(片段),課題:《函數奇偶性概念課》)

師:你學習過的函數圖象中,有哪些軸對稱圖形?哪些中心對稱圖形?

生:二次函數的圖象是軸對稱圖形,反比例函數的圖象是中心對稱圖形.

師: 您能分別畫出一個關于y軸對稱的二次函數的圖象和關于原點對稱的反比例函數的圖象?

圖1

圖2

師:觀察以上兩個函數的圖象,嘗試將函數圖象的對稱性用表達式給出.

師:以上結論可靠嗎?請你給出證明.

生:驗證發現,f(?1)=f(1);f(?2)=f(2);f(?3)=f(3),歸納發現f(?x)=(?x)2=x2=f(x),由此可知可知,結論f(?x)=f(x)可靠,同理可以證明另一個結論.

師: 是不是任何圖象關于y軸對稱的函數都有規律f(?x)=f(x)?請結合圖象給出說明.

生:根據圖象對稱性,結合坐標變化說明圖象關于y軸對稱的函數都有f(?x)=f(x).

師:我們把圖象關于y軸對稱的函數稱為偶函數,如何用數學式子表達函數圖象關于y軸對稱?

生:f(?x)=f(x).

師: 回答的是對的,f(x)=x2就滿足f(?x)=f(x),我們稱形如f(x)=x2,且滿足f(?x)=f(x)關系的函數為偶函數,接下來我們給出偶函數的定義:(板書)一般的,設函數y=f(x)的定義域為A,如果對于任意的x∈A,都有f(?x)=f(x),那么稱函數y=f(x)是偶函數.

師:類比偶函數定義,請您給出奇函數定義.

生:回答基本準確,具體略.

聽課感受:

本節課的教學設計貼近學生思維,過程中從形到數過度自然,學生在數學概念生成過程中數學思維受到簡單歷練,數學能力初步產生,整體課堂效果良好,課堂目標基本達成.但是對偶函數進行定義時,學生面對的問題缺乏挑戰,沒有真正達成“學有所思,思有所得”,在進行抽象概括,提煉升華的關鍵時刻——對偶函數進行定義時,老師過于急躁,剝奪了學生主動發現的樂趣和主動抽象的機會,應該把定義偶函數的機會讓給學生,讓其主動歸納、抽象出偶函數的概念,在概念生成的“節骨眼上”獲得數學體驗和數學抽象能力.

研討課結束后,筆者進行進一步的思考,如何更好設計這節課,才能更好地錘煉學生的數學思維和鍛煉學生的數學抽象能力,使學生在經歷和體驗中感受數學樂趣,在探究和思考中揭示數學本質;不僅學到了知識,還獲得了發展,使概念教學中的數學抽象訓練更有實效,讓“數學抽象”素養在“概念教學”中落地生根.帶著問題,筆者進行了大量查閱、思考并嘗試實踐,以下為反思后的課堂實踐(片段):

案例2:(上課:校內公開課片段,課題:《函數奇偶性概念課》)

師:對稱是一種自然美,生活中到處都是以對稱美呈現的事物?請您舉例說明.

生:舉例,蝴蝶、天安門城樓、等腰三角形

師:在我們已經學習過的函數中,也出現很多函數圖象是對稱的函數,請您舉例:圖象關于y軸對稱的函數有哪些,圖象關于原點對稱的函數有哪些?

生:板演,口述(具體細節基本和案例1相同).

師: 我們不妨先研究函數f(x)=x2,x∈R,設點P(x0,y0)是f(x)=x2的圖象上某一點,點P關于y軸對稱點坐標是什么?這兩個對稱點縱坐標關系如何?

生: 點P關于y軸對稱點坐標是P(?x0,y0),它們的縱坐標都是y0,所以他們的縱坐標是相等的.

師追問1: 縱坐標相等如何用式子準確表達、清晰刻畫?

生: 對點P,y0=f(x0),對點P′,y0=f(?x0),因此f(?x0)=f(x0).

師追問2: 能否對函數f(x)=x2重新換一個定義域,使其圖象仍然關于y軸對稱?結合數軸,請您談談新換的定義域應該滿足什么樣的特征?

生:x∈[?1,1],x∈[?2,2],x∈[?a,a],定義域應該關于原點對稱,否則函數圖象不可能關于軸對稱.

師追問3: 對于函數y=f(x),x∈R,如果滿足f(?2)=f(2),能否判斷此函數的圖象關于軸對稱?如果不能,請您給出合適條件,能夠使得函數的圖像關于y軸對稱?

生:f(?2)=f(2)不足以判斷函數的圖象關于y軸對稱.

要使函數y=f(x),x∈R的圖像關于y軸對稱,應滿足對定義域內的任意x0,都有f(?x0)=f(x0),這正是要想函數圖象關于y軸對稱,其定義域必須關于原點對稱的原因.

師追問4: 如果我告訴你們f(x)=x2,x∈R是偶函數,結合此函數圖象的對稱特征,請您們在互相討論和補充后嘗試給出偶函數的定義.(學生根據圖形和現有結論激烈討論,情緒激動,思維活躍,教師用微笑對他們鼓勵,并掌控討論方向和引導討論結果.)

生(2分鐘后): 對定義域內任意x0,都有f(?x0)= f(x0),那么y=f(x)是偶函數.

師:很好,因為數學中我們常用x0表示一個常量,x表示變量,我們作出簡單的修正:(板書)設函數y=f(x)的定義域為A,如果對于任意的x∈A,都有f(x)=f(?x),那么y=f(x)是偶函數.

師: 試由奇函數、偶函數的定義,分析奇函數與偶函數的圖像特征以及奇函數與偶函數對函數定義域的要求.

生:回答很準確,具體內容不再細述.

感悟與反思:

1.重視“數學過程”是數學抽象素養產生的前提和基礎:

有效的概念教學絕不是帶領學生記憶和模仿,而是設計問題讓學生在動手、動腦、動口、動筆等“數學經歷”的基礎上進行歸納、猜想、研究、挖掘、概括、反思、修正,在活動中訓練數學思維,在過程中形成數學能力.在函數的奇偶性概念學習中,最讓學生感到困惑的是如何突破常量到變量的轉化,案例2中的數學問題和數學活動能夠帶領學生動手操作、自主探索、合作交流,促進學生從圖象出發,借助函數圖象準確把握偶函數定義中“任意x”,學生先經歷從數到形,又經歷從形到數,最終概括出最簡潔的數學表達式,整個過程都在感知、概括、應用,最后完成知識遷移、誤區矯正、歸納總結,使最關鍵的“數學抽象”找到強有力地過程支撐,學生的數學抽象能力在遞進問題的探索中得到發展,思維在逐層探究中得以豐富,情感在交流中得以升華,而以上的一切都離不開“數學過程”.在概念學習中,數學經歷后的探究才是有效探究,充分的數學經歷之后的數學抽象才是有價值的、高質量的數學抽象.

2.提升“概括能力”是數學抽象素養落地的抓手和動力:

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數學研究對象本質的思維過程.主要包括:從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及數學概念之間的關系,從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構,并且用數學符號或者數學術語予以表征.而數學概括水平最能夠反映思維活動的速度、廣度、深度和靈活遷移的程度,而這恰好符合學生數學抽象素養產生和發展的要求,因此提高學生的數學概括水平就是發展學生的數學抽象素養.判斷預設探究問題究竟是否