浙江省寧波市鄞州區瞻岐鎮中學(315145) 周紅芳

題組引領 借題發揮 有效復習
——解與圓有關的折疊問題幾例

浙江省寧波市鄞州區瞻岐鎮中學(315145) 周紅芳

習題課的的教學是數學教學工作的重要一環,通過習題復習可以鞏固、梳理、整合知識,以達到查漏補缺、完善認知結構,促進學生解題思想方法的形成.傳統的習題課教學大家采用“教師少講,學生多練”的方式,本節課中以圓中軸對稱內容專題為載體,題組引領,借題發揮,優化模式,在構建知識體系,提煉解題方法,積累活動經驗,感悟數學思想做了有益嘗試.

一、與弦和弧都有關的折疊

問題1: 如圖1,優弧APB所在⊙O的半徑為2,AB=2,點P為優弧上一點(點P不與A,B重合)將圖形沿BP折疊,得到點A的對稱點A′.

(1)點O到弦AB的距離是____;

(2)如圖2,當BP經過點O時,∠ABA′=___;

(3)當BA′與⊙O相切時,如圖3,求折痕BP的長;

(4)若線段BA′與優弧APB只有一個公共點B,設∠ABP=α,確定α的取值范圍.

圖1

圖2

圖3

圖4

分析:本題以點P為動點,在優弧APB上不同位置的幾種情形設置問題的.(1)題考查吹徑定理以及勾股定理,圓中常見計算有半弦,弦心距、半徑構成的直角三角形,如圖1,作OH⊥AB,連結OB,可求得OH=1;也容易發現∠OBH=30?.這樣就很快得出(2)題的結論∠ABA′= 60?;如圖3,當線段BA′與⊙O相切時,連結OB作OE⊥PB于E,此時∠OBA′=90?,所以∠ABA′=120?,根據軸對稱的性質可知∠ABP=∠A′BP=∠ABA′= 60?,∴∠OBE=∠OBH=∠ABP=30?,∴OH=OE,BP=BA=2.通過上述三圖(圖1,圖2,圖3)會發現當點P在優弧APB上運動時,點A′在以B為圓心,BA為半徑的圓上運動,如圖4所示,得出(4)題的結論0＜α＜30?或60?＜α＜120?.(注意:在幾何中經常遇到一些求角的大小范圍,解決這些問題要弄清角的邊在什么位置最大,什么位置最小,這樣的臨界位置的探尋就可也解決問題了)

設計意圖:通過改變圖形的位置,改變題目的條件或所求問題,但不改變題目的本質特征.復習垂徑定理,軸對稱的性質等有關知識.本題通過(1),(2),(3)問,進行對比,由靜態到動態,在對比中感悟(4)問的數學真知,目的是激發學生的探究熱情和能力,培養學生解決問題的能力.

二、與弧有關的折疊

問題2: 已知,紙片⊙O的半徑為2,如圖5,沿弦AB折疊操作

①折疊后的弧AB所在圓的圓心為O′時,則O′A的長為____;

②如圖6,當折疊后的弧AB經過圓心O時,則弧AOB的長度為___;

③如圖7,當弦AB=2時,折疊后的弧AB所在圓的圓心為O’時,則圓心O′到弦AB的距離為___;

④如圖8,設弧AB與直徑CB交于D,DB=x,試用x的代數式表示弦AB(直接寫出結果).

圖5

圖6

圖7

圖8

分析:折疊前的弧和折疊后的弧是等弧,只有在同圓或等圓中才有等弧,不管弧AB的大小發生怎樣的變化,折疊前的弧和折疊后的弧所在圓都是等圓.

如圖5∴OA=OB=O′A=O′B,四邊形OAO′B是菱形,所以問題①中的,O′A就等于OA,∴O′A=2;

培養基:普通肉湯、普通營養瓊脂、改良馬丁瓊脂培養基,廣東環凱微生物科技有限公司生產; 甘露醇高鹽瓊脂培養基,青島高科園海博生物技術有限公司生產。

設計意圖: 本題復習了等弧的概念,弧長的計算公式,勾股定理或解特殊直角三角形,通過動點A的變化,弧AB的大小也隨之變化,但圖中始終有不變的,即⊙O和⊙O′的半徑相等(即等圓),四邊形OAO′B是菱形.通過以靜制動

,定格符合條件的圖形,訓練和促進學生思維的發展,達到對知識實質性的理解,積淀數學經驗.通過圖形的變式教學,告訴我們數學題目并非是“一些孤立”的題目,它們之間有很多聯系,但在這些題目中數學本質完全一樣的,教會學生透過題目看本質,善于挖掘題目的隱含條件.

三、與弦有關的折疊

問題3: 如圖,P是以AB為直徑的圓上的一點,PA=4,AB=10,將弦PA沿AC折疊使P點正好落在AB上的P′處,則折痕AC的長為____.

分析:此題是計算線段的長度,涉及線段長度的計算一般情況是在直角三角形中根據勾股定理計算或利用相似三角形對應線段成比例來計算的.下面提供與學生共同探討的兩種方法.

圖9

圖10

設計意圖:通過此題,鞏固圓周角定理及推論,直角三角形中的母子相似性,勾股定理,等腰三角形性質及全等和相似三角形性質等知識,讓學生學會用構造或轉化的方法,把線段的計算放到直角三角形中.

四、與三角形有關的折疊

問題9: 如圖,半徑為6cm的⊙O中,C,D為直徑AB的三等分點,點E,F分別在AB兩側的半圓上,∠BCE=∠BDF=60?,連結AE,BF,則圖中兩個陰影部分的面積和為________m2

圖11

圖12

總結與反思:學案的設計目標明確,容量適中,符合學生實際,內容設計能體現知識問題化,問題層次化,知識梯度化;做到目標定位,學法指導;在師生互動中,在老師的點撥、引導中使學生的知識點得到升華.

1.選擇典型的,適合自己學生認知的題目.

選擇恰當,且符合學生學情的數學題目,直接關系到學生對知識點的理解和掌握.要明確題目練習的目的,知識點的覆蓋,不要貪多求全,既能體現能力,又關注基礎,切不可把所謂的好題(難題)都選進來,使學生的積極性受到打擊.

2.選擇合適的呈現方式.

題目選好后,合適的呈現方式才能夠提高教學效率;首先,從學生已有的知識和經驗出發,由淺入深,體現參差感,讓每一位學生都能參與,從而以題引題,拾級而上,達到一定的高度.其次要突出知識的整合,題目之間不可孤立,要前后串聯、逐步生長,形成一個整體,使每一道題目都發揮作用,這樣整個教學環節流暢,參差感強.

3.給學生留思維空間,揭示數學本質及滲透思想.

以習題引領的復習課,培養學生的思維能力是習題教學地靈魂,而解題方向和方法的確認需要時間的,所以要還學生思維空間,引發學生的深度思考,提升學生興趣,通過自主探究,合作交流,學生的說,教師的聽,錘煉學生的表達能力,暴露學生的思維,使大家分享更多、更優的解法.老師做到適時引導學生反思和總結,揭示題目共性,認清題目的本質內涵,幫助學生挖掘和領會數學思想,掌握必要的解題方法和策略.有利于培養學生發散性思維,提高學生的思考力和創造力.