數學思想方法在高中數學教學實踐中的應用

游明霞

（福安第一中學，福建 寧德 355000）

數學思想方法在高中數學教學實踐中的應用

游明霞

（福安第一中學，福建 寧德 355000）

數學思想是數學知識學習的核心，要素在教學中，教師應深入研究教材，仔細發掘蘊藏其中的數學思想方法，以數學思想方法引領教學，使學生深刻把握知識在教學整體結構中的內在聯系；從數學思想的角度指導解題教學，提高學生的思維水平和創新意識；不斷引導學生感悟數學的思想方法，提升學生的數學素養。

數學思想方法；函數與方程思想方法；數學素養；數學教學

通常，許多人都誤以為學數學是為了解題、考試，學數學就是學數學公式、數學定理等數學知識，而這些數學知識在他們走出校園，走上社會后，會漸漸淡忘，也就產生了數學無用論的觀念。其實這種觀點忽視了長期的數學學習給我們留下的銘刻在頭腦中的數學思想、數學思維方法以及看問題的著眼點，而這些卻隨時隨地影響人們的工作、生活等行為方式，讓人們受益匪淺！

每門學科背后都是一種思維方式，這種思維方式比學科知識本身更重要。其之用，是無用之用，實有大用。日本數學教育家米山國藏先生指出：科學工作者所需要的數學知識，相對地說是不多的，而數學的精神、思想與方法卻是絕對必要的。數學的知識可以記憶一時，但數學的精神、思想和方法卻隨時隨地發揮作用，可以使人受益終身。但是，受以傳授知識為目標的教學觀念和模式的長期影響，加上高中數學知識點繁、雜、多的特性，教師往往把重點放在知識的講解上，在習題教學中也大部分以題論題，忽視知識發生發展的過程，重結論輕過程，不重視數學思想方法的教學。如何才能更好地在高中數學課堂中落實思想方法的教學呢？筆者在教學實踐中總結了以下幾個途徑，不當之處，敬請指正。

一、以數學思想方法引領教學，使學生深刻把握知識在教學整體結構中的內在聯系

數學思想屬于數學知識學習的關鍵性因素，是對數學概念與知識的一種總結與概括，也是對數學本質的一種認識。但在教科書中數學概念與知識是顯性的，而數學思想方法通常是潛隱的學生在學習中很難自主發現數學概念與知識中隱藏的數學思想方法，需要教師深入研究教材，仔細挖掘出其中的數學思想方法并隨滲透在教學的各個環節。例如，函數是高中知識的一個重要部分，也是學生學習的難點之一，其中，函數與方程思想是學習函數過程的核心內容，教師應該把函數與方程思想方法教學貫穿始終，逐步深化學生的理解與感悟。

例1.從方程ab=N（a＞0且a≠1）入手引出三個初等函數：

（1）當a固定，N隨b的變化而變化就產生了指數函數y=ax；

（2）當a固定，b隨N的變化而變化（ay=x）就產生了冪函數y=logax；

（3）當b固定，N隨a的變化而變化就產生了冪函數y=xb。

例1中通過一個二元方程給學生總結指、對、冪三類初等函數解析式，揭示了方程與函數的本質聯系，將方程靜態的表達式看成動態的函數解析式，把握住了指、對、冪三類初等函數的內在聯系，有助于學生整體把握教材。所以在教學中教師不僅要有利用數學思想方法反思教材的意識，還要有意識地培養學生利用數學思想方法隨時反思的習慣。

二、從數學思想的角度指導解題教學，以提高學生的思維水平和創新意識

對師生而言，高中數學教學的一個重要目的是為了迎戰高考，高考數學不僅考查數學基礎知識和基本技能，更注重考查知識的內在聯系，注重對中學數學中所蘊涵的數學思想方法的考查。而解題又是如今數學教學的一個重要方式，因此，在課堂教學中，教師應仔細挖掘蘊藏在習題中的數學思想方法，從數學思想的角度指導解題教學，可以更好地提高學生的思維水平和創新意識。

例2.已知mn≠0，n2+m＞0，又a≠b，且

ma2+na-1=0；① mb2+nb-1=0，②

試求過點 A(a2,a)、B(b2,b)兩點的一次函數解析式（用含m、n的式子表示）。

解法一：設過點 A、B的一次函數解析式為y=kx+c，把A、B兩點代入整理得

由 ①② 兩式可知，a、b是一元二次方程mx2+nx-1=0的兩實數根，根據韋達定理有

解法二：由①②方程可知，點A、B兩點都是二元一次方程mx+ny-1=0的解，所以過點 A(a2,a)、B(b2,b)兩點的一次函數解析式為mx+ny-1=0。

解法一由結論出發慣性思維想到用待定系數法設出直線方程，然后兩點代入算出k,c關于a,b的表達式，最后根據③④式用韋達定理把含a,b的解析式轉化為m,n的一次函數解析式，從而達到解題的目的。這種解法雖然也能得滿分，但更多的表現為解題套路的操作和單純的演算上，不僅計算量大、耗時間，而且容易算錯。而解法二在函數與方程的思想方法的指導下，深刻理解“一次函數”與“二元一次方程”的內在聯，秒殺了解題過程，從而提高了解題效率，有效地展示學生的思維水平和創造意識。因此，要提高解題的能力和水平，首先就要站在較高的觀點上去研究解題，就是要從數學本質上去看待解題，就要在解題的規程中體現數學思想方法并注意發揮數學思想方法的功能。

三、不斷引導學生感悟數學的思想方法，提升學生的數學素養

數學知識，會被漸漸淡忘，但對數學思想方法的領悟、理解能力，以及靈活、正確地用數學思想方法解決問題的能力，即數學素養將伴隨人們一生，并在未來的生活和工作中發揮重要作用。

例3.微軟公司招聘員工的一道考題：“一個屋里有50個人，每人帶一條狗，其中部分是病狗。主人只能通過對其它狗的觀察得知自己的狗是否是病狗，并在發現當天用槍打死自己的狗，第一天沒有聽到槍聲，第二天沒有聽到槍聲……直至第十天聽到一片槍聲，問屋里有多少病狗?！?/p>

可是這道看似腦筋急轉彎的題目其實是一道巧妙的數學應用題。

答案分析如下：

若恰有1只病狗，則病狗主人在第一天就能發現其它49只狗都是正常的，則由此推斷必然存在的病狗就是自己的狗，所以第一天就能聽到槍聲，結論：第一天聽到槍聲即等價于恰有1只病狗；

如果第一天沒聽到槍聲，說明有2只或者兩只以上的病狗，若病狗主人看到的病狗數大于等于2只的，則無法推斷自己的狗是否生病，而病狗主人若只看到了1只病狗，則由此可以推斷剩下的1只病狗就是自己的狗，所以第二天就應該聽到槍聲，結論：第二天聽到槍聲即等價于恰有兩只病狗；

如果第二天沒聽到槍聲，說明有3只或者3只以上的病狗，若病狗主人看到的病狗數大于等于3只的，則無法推斷自己的狗是否生病，而病狗主人若只看到了1只病狗，則由此可以推斷剩下的2只病狗就是自己的狗，所以第三天就應該聽到槍聲，結論：第三天聽到槍聲即等價于恰有2只病狗；

依此類推，前n-1天都沒聽到槍聲，說明病狗數量大于或者等于n只，若病狗主人看到超過n-1只病狗，則無法推斷自己的狗是否生病，只能繼續等下去，而如果病狗主人只能看到n-1只病狗，即可推斷剩下的一只病狗就是自己的狗，則在這一天就應該聽到槍聲，結論：在第n天聽到槍聲即等價于恰有n只病狗。

雖然整個解答過程沒有用到任何數學定理、公式等數學知識，但需要結合運用反證法和歸納法這些數學思想方法，答案的揭曉使每個人都能感受到了數學的奧妙。有專家認為“良好的數學教育”的終極目標是提升學習者的數學素養，而數學素養形成的重要標志之一便是感悟和理解數學的思想，能夠運用數學思想方法去處理數學領域內和領域外的問題。因此教師的教學應通過不斷加強學生數學思想方法的訓練，提高他們對數學的理解能力，從而從而提升他們的數學素養。

總而言之，在教學中滲透數學思想方法應該成為所有數學教師的共識。在教學工作中，數學教師要把滲透數學思想方法真正納入到教學目標中，努力鉆研教材，找準淺層的知識技能與深層的思想方法的結合點，有創造性地精心設置各個教學環節，自然滲透，讓學生在學習知識和技能中理解數學、感悟數學思想方法，有效促進學生數學思維品質的提升，最終形成良好的數學素養，真正達到“教、學、用”合一的育人效果。

［1］張德新.在數學教學中滲透數學思想方法的意義及策略［J］.中學教學參考，2016(5).

［2］劉彩萍.高考數學中數學思想方法的研究及啟示［D］.上海:上海師范大學，2010.

［3］李文欣.論數學思想方法與高中數學教學［J］.數學學習與研究，2011(3).

（責任編輯：王欽敏）

福建省教育科學規劃課題“基于‘導學研討訓練拓展’模式下高中數學學案研究”（項目編號：FJJK15-548）。