關于固結彈性薄層空間軸對稱接觸問題精確解的探討（Ⅰ）

曲祥君，朱 凱，唐 迪，李 青

（遵義師范學院工學院，貴州遵義563002）

關于固結彈性薄層空間軸對稱接觸問題精確解的探討（Ⅰ）

曲祥君，朱 凱，唐 迪，李 青

（遵義師范學院工學院，貴州遵義563002）

基于Papkovich-Neuber勢函數研究了固結薄層的軸對稱靜壓接觸問題。通過Fourier積分變換得到薄層接觸應力、位移的Fourier形式。利用邊界條件，采用積分變換手段探討了該接觸問題的精確解，并最終得到第一類奇異積分方程。

彈性薄層；Fourier積分變換；軸對稱接觸

彈性薄層固結構件的層合結構常見于各大行業領域中，如暖通管道與保溫耐腐層的結合體。此種結構在應用時常與其他構件接觸，從而產生多種接觸問題。固結薄層體的空間軸對稱接觸問題，是其中最基本、最重要的一種，國內外學者對其進行了相應研究。Johnson[1]創立了著名的Johnson假設，并以該假設為基礎研究了固結薄層體的靜態擠壓接觸問題，得到了精確的解析解。該假設后來成為薄層體解析分析、數值分析的重要奠基石，但該假設的結果無法應用于薄層體層內應力場、位移場的分析研究。Jaffer[2]以Johnson假設為基礎，研究了可壓縮彈性薄層體受豎向靜態擠壓接觸時的接觸應力分布。Barber[3]采用不同的方法研究了靜態擠壓接觸問題的接觸應力分布情況。Ning等[4]也以Johnson假設為基礎，并利用仿真分析得出了與理論值高度吻合的接觸應力分布形式。Jaffer[5]以Popov[6]和Alexandrov[7]的研究成果為基礎，利用修正Legendre多項式對接觸應力、位移分量開展了相應的研究。Mattthewson[8]從平均應力、平均應變的角度對固結彈性薄層體的靜態擠壓接觸問題進行了全新的研究，得到了相應的精確解。朱凱[9]采用解析分析的方法，利用簡單的數學推導，求出了固結彈性薄層空間軸對稱問題的解析解。此外，還有許多學者[10-14]對該問題進行了大量研究，所有這些研究為薄層體結構的制備及工業應用提供了理論指導，并推動了接觸力學的發展。

本文以朱凱研究的模型為基礎，旨在尋找一種針對此類問題的精確的半解析解。作者采用一系列積分變化手段，探討固結彈性薄層空間軸對稱接觸問題的精確解，最終將該問題成功轉化為第一類奇異積分方程，該方程可以利用數值手段進行求解，并得到接觸應力的精確表達式。

1 問題的建立

考慮有厚度為 的彈性薄層固結剛性基底，如圖1所示。半徑為 的剛性圓球在外力 的作用下與薄層發生空間軸對稱接觸，接觸半徑為a，薄層產生深度為d的凹陷，圓球的最大壓入深度為d。過球心作橫截面，建立笛卡爾坐標系進行輔助求解，其中相對應的位移分量為

圖1 剛性基底上固結彈性薄層與剛性球狀壓頭的法向接觸

2 邊界條件

由圖1可知，剛性圓球與薄層之間的接觸區域為球冠狀，接觸半徑為a。假定剛性圓球與薄層之間的摩擦系數為零，同時由圖1可知，只有接觸區域內有應力分布，故可得如下的邊界條件：

3 問題的求解

在平面應變問題幾何方程、彈性方程的基礎上，利用Fourier積分變換可求得的Fourier形式

由式（21）、（23）可建立接觸應力與豎向位移的關系式：

由式（32）可知，本文中的軸對稱接觸問題轉化成為第一類奇異積分方程的求解。

4 討論及結論

本文通過積分變換手段，對固結彈性薄層空間軸對稱接觸問題進行了探討，并最終將問題轉化為便于數值求解的第一類奇異積分方程。該方程可以運用Gauss-chebyshev積分法進行離散，然后采取Chebyshev多項式零點作為Gauss節點對接觸應力進行數值求解，最終得到精確的結果。相應的數值分析及結果討論將在第Ⅱ部分工作中呈現。

[1]Johnson KL.Contact mechanics[M].Cambridge:Cambridge university press,1987.

[2]Jaffar MJ.Asymptotic behaviour of thin elastic layers bonded and unbonded to a rigid foundation[J].International Journal of Mechanical Sciences,1989,31(3):229-235.

[3]Barber JR.Contact problems for the thin elastic layer[J].Inter national Journal of Mechanical Sciences,1990,32(2):129-132.

[4]Ning X,Lovell M,Slaughter WS.Asymptotic solutions for axisymmetric contact of a thin transversely isotropic elastic layer[J].Wear,2006,260(7):693-698.

[5]Jaffar MJ.A numerical solution for axisymmetric contact problems involving rigid indenters on elastic layers[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids,1988,36(4):401-416.

[6]Popov GI.The contact problem of the theory of elasticity for the case of a circular area of contact[J].Journal of Applied Mathematics and Mechanics,1962,26(1):207-225.

[7]Aleksandrov VM.Asymptotic solution of the contact problem for a thin elastic layer[J].Journal of Applied Mathematics and Mechanics,1969,33(1):49-63.

[8]Matthewson M J.Axi-symmetric contact on thin compliant coatings[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1981,29(2):89-113.

[9]朱凱,張旭,馬清.固結彈性薄層的空間軸對稱接觸問題[J].遵義師范學院學報,2016,18(1):107-110.

[10]Meijers P.The contact problem of a rigid cylinder on an elastic layer[J].Applied Scientific Research,1968,18(1):353-383.

[11]Alblas JB,Kuipers M.On the two dimensional problem of a cylindrical stamp pressed into a thin elastic layer[J].Acta Mechanica,1970,9(3-4):292-311.

[12]Gladwell GML.On some unbonded contact problems in plane elasticity theory[J].Journal of Applied Mechanics,1976, (43):263.

[13]Matthewson MJ.Axi-symmetric contact on thin compliant coatings[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1981,29(2):89-113.

[14]Popov VL.Contact mechanics and friction[M].Berlin:Springer Berlin Heidelberg,2010.

[15]Gladwell G M L.Contact problems in the classical theory of elasticity[M].Berlin:Springer Science&Business Media, 1980.

[16]Sneddon N I.Fourier transforms[M].New York:Dover Publications Inc,1995.

（責任編輯：朱 彬）

Axisymmetric Contact Problem of the Bonded Elastic Thin Layer (Ⅰ)

QU Xiang-Jun,ZHU Kai,TANG Di,LI Qing
（College of Engineering and Technology,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China）

The axisymmetric contact problem for the elastic thin layer bonded to rigid foundation is concerned on the basis of the Papkovich-Neuber potential function,using the Fourier transform to get the stress and the displacement expressions of the elastic thin layer. Considering the boundary conditions,the solution for the contact pressure is obtained by Fourier transforms.

Elastic thin layer;Fourier transform;Axisymmetric contact

O343.3

A

1009-3583（2017）-0104-03

2016-11-04

曲祥君，男，貴州遵義人，遵義師范學院工學院助理實驗師。研究方向：滾動軸承、界面處理。