淺談數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

周晶

摘要：數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中重要而基本的思想方法之一。本文在了解數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展歷程、正確認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想的作用的基礎(chǔ)上，就高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想涉及的主要問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)舉例說(shuō)明。并著重借此概括出應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一些規(guī)律，探討教學(xué)中處理數(shù)形結(jié)合思想方法的問(wèn)題，提出了分層教學(xué)目標(biāo)：抓住點(diǎn)滴，滲透數(shù)形結(jié)合知識(shí)；發(fā)展眼光，揭示數(shù)形結(jié)合本質(zhì)；專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想。補(bǔ)充了有關(guān)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)理論基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)教學(xué)實(shí)踐有一定的參考作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解題；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)

一、教材分析

1.教材背景 指數(shù)函數(shù)是在學(xué)習(xí)了函數(shù)的現(xiàn)代定義及其圖象、性質(zhì)，掌握了研究函數(shù)的一般思路，并將冪指數(shù)從整數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍之后，學(xué)習(xí)的第一個(gè)重要的基本初等函數(shù)，是《函數(shù)》一章的重要內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容分三課時(shí)完成，第一課時(shí)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)；第二、三課時(shí)為指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，本課為第一課時(shí)。

2.本課的地位和作用 本節(jié)內(nèi)容既是函數(shù)內(nèi)容的深化，又是今后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，具有非常高的實(shí)用價(jià)值，在教材中起到了承上啟下的關(guān)鍵作用。在指數(shù)函數(shù)的研究過(guò)程中蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、歸納推理、演繹推理等數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

二、重難點(diǎn)分析

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)及對(duì)教材的分析，確定本節(jié)課重難點(diǎn)如下：

重點(diǎn)：本節(jié)課是圍繞指數(shù)函數(shù)的概念和圖象，并依據(jù)圖象特征歸納其性質(zhì)展開(kāi)的。因此本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

難點(diǎn)：（1）對(duì)于和時(shí)函數(shù)圖象的不同特征，學(xué)生不容易歸納認(rèn)識(shí)清楚。因此，弄清楚底數(shù)a對(duì)函數(shù)圖象的影響是本節(jié)的難點(diǎn)之一。

（2）底數(shù)相同的兩個(gè)函數(shù)圖象間的關(guān)系。

三、數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合思想的重要性 從數(shù)學(xué)的歷史背景上說(shuō)，“數(shù)”與“形”是最古老，最基本的研究對(duì)象，在一定情況下，它們是可以相互轉(zhuǎn)化的，在這一轉(zhuǎn)化過(guò)程中，就產(chǎn)生了數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中具有舉足輕重的地位，它是聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁，是建立空間想象力的紐帶，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”華老的這句話(huà)揭示了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，也對(duì)我們的數(shù)學(xué)解題具有極深刻的啟示.

2數(shù)形結(jié)合思想的分類(lèi). 作為一種重要的思想方法，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用大致可分為兩種情形：第一種情形是“以數(shù)解形”，即將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，以獲得精確的結(jié)論.第二種情形是“以形助數(shù)”，即借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化，給人以直覺(jué)的啟示.通過(guò)這兩種方法可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題的目的.

3.與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)的內(nèi)容. 數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的解題思想應(yīng)用極其廣泛，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系；（2）函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素或者是幾何背景建立起來(lái)的概念，如三角函數(shù)等；（5）題中出現(xiàn)的等式或者是代數(shù)式具有明顯的幾何意義.如斜率等.至于數(shù)形結(jié)合思想具體的應(yīng)用技巧將會(huì)在以下具體的例子中體現(xiàn). 4利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的注意事項(xiàng).

要想更好的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，需要注意以下幾點(diǎn)：（1）要徹底的明白數(shù)學(xué)中的一些概念和運(yùn)算的幾何意義，以及曲線的代數(shù)特征，既能夠分析出題目中的條件和結(jié)論的幾何意義，又能分析出其代數(shù)意義.（2）恰當(dāng)?shù)脑O(shè)參，合理的用參，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做到合理恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化.（3）正確確定參數(shù)的取值范圍，不要與題中的取值范圍混淆

四、數(shù)形結(jié)合方法的實(shí)用性

數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種很好的學(xué)習(xí)方法。在學(xué)習(xí)過(guò)程中有些學(xué)生覺(jué)得難以理解，有的甚至經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤或混淆的內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合可充分利用形，把抽象的問(wèn)題變得直觀、形象，很容易引發(fā)聯(lián)想，探索規(guī)律，得出結(jié)論。數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用主要有以下幾點(diǎn)：

1.在集合中的應(yīng)用 集合是高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)概念，也是很多數(shù)學(xué)概念建立的基礎(chǔ)，對(duì)集合含義、交并補(bǔ)運(yùn)算的考查是檢驗(yàn)掌握知識(shí)的關(guān)鍵。通過(guò)數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系以及韋恩圖表示集合，利用數(shù)形結(jié)合能快速解決集合問(wèn)題。

2.在函數(shù)中的應(yīng)用 函數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重、難點(diǎn)，然而若注重函數(shù)的幾何特征，把函數(shù)求值的代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)距離問(wèn)題、斜率問(wèn)題、直線的縱截距問(wèn)題等，則可使問(wèn)題迎刃而解。

五、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用總結(jié)

1.通過(guò)以上的應(yīng)用實(shí)例我們可以看出，數(shù)形結(jié)合思想實(shí)際上就是把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)考查的思想.根據(jù)解決問(wèn)題的需要，我們可以把有關(guān)“數(shù)”的問(wèn)題用圖形直觀去描述，從而揭示出圖形的幾何特性；而對(duì)于“形”的問(wèn)題，我們可以用“數(shù)”去度量，找到數(shù)量之間的關(guān)系，從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)到“形”的幾何屬性.簡(jiǎn)而言之就是“數(shù)形相互轉(zhuǎn)化”，優(yōu)化解題思路.

2.通過(guò)以上的探討，我們已經(jīng)理解了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的優(yōu)勢(shì)，也知道了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的廣泛性，因此在學(xué)習(xí)新知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的時(shí)候，我們應(yīng)該多注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，有意識(shí)的加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，從而提高我們的數(shù)學(xué)解題能力.

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