面向跨學科人才培養的高等代數課程教學探索

吳語來 蔡金轉

摘 要：高等代數是一門面對數學專業開設的基礎課程。隨著科學技術的發展，高等代數的理論和思想方法在各個科學領域都有深刻的應用。文章探討了在跨學科的背景下，高等代數課程改革的方法和實例，提出了在面對跨學科型人才的高等代數教學中的一些思考和建議。

關鍵詞：高等代數；教學改革；跨學科

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）14-0061-03

Abstract： Advanced algebra is a basic course facing students majoring in mathematics. Nowadays with the development of science and technology， the theory and method in advanced algebra have been applied in many fields of science. Under such an interdisciplinary background， this paper discusses some methods and examples of the reform of advanced algebra course and puts forward some thoughts and suggestions in teaching advanced algebra for interdisciplinary students.

Keywords： advanced algebra； education reform； interdisciplinary

引言

高等代數是數學類專業本科生的專業必修課程之一，也是最基本、最核心的課程之一。高等代數開設于本科一年級，既是對中學算數的延拓，也是本科后續課程的基礎。對高等代數的學習和改革，直接影響著學生數學專業思維的訓練和興趣的培養，并間接的影響其今后方向和道路的選擇。不僅如此，作為現代科學各個分支的基礎，高等代數的思想、理論與方法都已滲透到科學領域的各個方面和實踐應用的各個部門，許多工科專業已經不滿足于線性代數的內容，一些院校已經開始將高等代數設置成進入通識教育的選修或必修課程。所以，高等代數已經不再局限于數學專業的本科教育。然而，高等代數課程目前開設范圍較小，教材更新較慢，內容設置偏理論，學時緊張，針對工科專業的教師和學生對高等代數的教學方法仍在逐步改進中，因此，對面向跨科學的高等代數課程的設置的改革和反思[1，2]，尤為迫切，也越來越受到人們的重視。

一、從課程本身設置上引入學科交叉

近年來，越來越多的學校，注意到對單一專業的知識、思維能力和素質的培養，已經不能夠滿足現代科技和就業的交叉性、多樣性和廣度。在高校雙學位制度之后，跨學科式的高等教育，已經頻頻出現在人們視野。2000年，國防科技大學對本科應用數學、應用物理和光電工程等三個專業實施教學改革，提出在三個本科專業實現數理打通，對三個專業的前兩年基礎課進行統一施教。2007年，北大元培學院成立，實行低年級不分專業，學生能夠在全校所有學科范圍內選擇課程、安排知識結構，設置跨學科專業、通識教育基礎課，構建具有前瞻性的課程體系。這些長遠的布局，都是希望能通過貫徹加強基礎，促進交叉，培養有情懷、視野、兼備創新精神和實踐能力，在各行業起引領作用的高素質人才[3，4]。在這樣的大背景下，對課程的設置和更新，以及與其他學科的交叉背景的介紹和承接，顯得非常緊迫和重要。

然而在大多數高校中，高等代數只對數學專業的學生展開[5]；市面上的高等代數教材，也大多源于上世紀七十年代北大或清華的講義，經典而穩定，采用的是傳統的敘述方式：公理體系出發，遵循“定義-例子-定理-證明-推論”的演繹進行。這樣的方式有它的優點， 那就是把數學知識重新整理、系統化，便于課堂講授。然而，對于非數學專業的學生來說，對于高等代數課程的知識背景、培養目標和學習的目的都和數學專業的學生有非常大的差異。對于目前普通高等院校的工科類學生而言，把抽離出來的背景和來源的數學知識，邏輯和關系都建立起具有生活或學科背景的橋梁，是非常有意義且重要的舉措。

（一）與幾何一體化

幾何為代數提供直觀背景，代數為幾何提供研究方法。高等代數和解析幾何具有非常緊密的聯系。解析幾何是利用代數方法處理低維空間（二維和三維空間）上的幾何問題。高等代數主要介紹多項式理論和線性代數理論，具有較強的抽象性和邏輯性，但高等代數中許多基本概念和方法都有很強的幾何背景[6]。數形結合可以使學生在具體的幾何背景下更好地掌握代數方法去處理科學技術中遇到的各類問題。

例如，高等代數的第三章介紹線性方程組的解。經典的教材是通過消元法，和對矩陣的秩的情況，解讀線性方程組解的判別定理，以及解的結構問題。具體講授中，可以通過多媒體講解，將幾何背景融入進去。由于每個線性方程可以解讀為n維空間的超平面，線性方程組的解可以解讀為超平面的交點。從二維入手，解釋直線相交的三種情形，解釋兩根直線相交出現無窮多個交點的情形，在代數上表現為二階行列式為零。將直觀的低維幾何背景引入，把空間直線、平面和代數知識有機地結合起來，可以在不削弱原有知識的基礎上，將知識的結構調整得更完整，從而優化了教學過程。

（二）與物理背景相結合

例如，在介紹線性空間和線性變換的時候，可以對其背景做出解釋和闡述。線性空間是從我們所生活的空間中抽象出來的，包含我們所在空間中最基本的信息。線性空間里的點和向量（矢量）之間的關系，線性空間里的變換，其本質代表著質點的運動（或躍遷）。矩陣是在某種坐標系下，線性變換（運動方式）的描述。而同一個變換，由于選取的坐標系不同，其表示矩陣看上去是不同的，但是它們的本質是一樣的，所以叫特征（本征），矩陣之間的關系叫相似。

另外，在介紹矩陣的轉置時，可以從力、功和能量的角度，來介紹反對稱矩陣和辛之間的聯系[7]。

（三）經管統計相結合

在介紹特征值和特征向量的時候，學生往往非常迷茫于為何要設置這樣的概念，這時可以相應的介紹一點應用背景[8]。例如，馬爾可夫人口模型。將人口模型應用矩陣來設置更新分類，通過對矩陣的特征值和特征向量的求解，來求達到人口平衡模型的解，并指出這種預測在宏觀政策上的導向意義。

總之，面對跨學科應用型人才培養的高等代數課程，應該根據課程定位和學生專業興趣與要求，在課程內容與體系設計上，堅持課程內容敘述上的啟發性，加強課程內容的交叉背景，兼顧課程內容的學術性和應用性，并在課程內容的定位中要考慮到學生的現實性和發展性。

二、教學方法上多樣化

大學本科教學學時非常緊張是一個普遍現象。傳統的授課方式為講授法，這種方式在近代數學教育的歷史上，使用最多最頻繁。其最大的優點在于，能用最少的時間傳授最多的知識點，在教育缺乏的年代，這樣的方式，使得我國科學技術的斷層得以迅速的彌補，知識結構得以迅速擴張，在許多的學科上，可以明顯的看見從無到有的迅速積累過程。然而，在中國經濟體量成為世界第二大的今天，社會的進步和科技的進展使得教學內容在不斷的增加。在有限的學時中盡可能多的授業，僅僅靠老師在課堂上灌輸是遠遠不夠的。并且，開始有獨立思維的學生也不再甘愿屈服于填鴨式的教學。不僅如此，高等代數課程比之初等數學的課程而言，理論性強、內容抽象，學生學習有一定困難。不少同學在剛進入大學時信心滿滿，然而沒上幾節課就開始放棄。教學內容的深奧更需要教師花時間和心思對教學方法進行探索和改進。

（一）課堂教學的多樣性

一節課的時間是有限的45分鐘，然而課外的時間卻遠遠成倍于之。重新調整課堂時間，通過課外的時間來補充學時內的不足，是一個非常不錯且可行的辦法。近年來，緣起于Mooc（Massive Open Online Courses）的教學建設在我國掀起了教改的高潮。引進開放式在線課程，優勢和不足都引起了極大的反響。其天然的優勢在于，打破時間和空間的局限性，教學方式非常靈活，并且可以極大的豐富傳統課時里緊張的內容，有著非常廣闊的前景和重要的意義。其不足在于不少剛成年的學生的自主學習意識薄弱，Mooc不適合作為高等代數這類趣味性弱且高度抽象的課程的主要教學模式。因此，我們認為，Mooc和一些在線課程和視頻，可以作為傳統授課的輔助手段。對于一部分非常有學習興趣和學習主動性的學生而言，利用Mooc、教學短視頻、電子書和學習論壇等輔助方式來引導其完成課堂教學之外的內容擴展，為學有余力的同學拓寬視野，拓廣知識結構。

（二）增加互動式實踐學習模塊

教學是老師和學生之間共同完成的活動。因此學生對課程內容的反饋和互動，是非常寶貴的。在傳統輸送式講授和在線播放之外，還可以將研究生的討論班模式引進課堂。老師可以布置一些命題和富有實踐意義的專題，讓學生們自主選擇學習一段專題或研究一個具體的問題，在課下以小組的形式討論形成集中意見。學生之后在課堂上講述自己學習的體會和所得，在講述的過程中發現自己的不足，并通過思考同學之間的提問，引發不同思路之間的交流和碰撞。同時，老師在講臺下聽取意見，并加強引導和指導方向，從而達到深入學習的目的。

（三）打破一個教師教一門課的禁錮

每一位老師都是由傳統的專業性教育成長起來的。專業的局限性，使得在教授課程時，多少都帶有且僅帶有自身專業的背景。然而，下一代的學生將處于一個多樣交叉的時代，單一的專業背景恐怕并不能夠滿足教學的需要。一個解決的想法是，將高等代數課程，在介紹完了基本知識之后，設置幾次專題，根據所學的不同的知識點，邀請幾個不同專業的老師，根據自身的方向和應用來講解理論背后的背景和應用。由于高等代數和多門學科之間的高度交叉性，一門課由一個老師主講，兩三個老師協助共同完成是完全可以實現的，并且在擴展學生的視野，打破授課風格的單一性，以及開拓知識結構的層面上，都是非常有益的。

三、激勵學生學習的方法

由于本科階段靠自學為主，與高中師長頻頻緊盯差異甚大。如何調動學生自主學習，是每個任課老師都非常關注的問題。

（一）考核和評價體系的優化

普通高校的考核模式一般為，平時成績與考試成績三七或者二八開。而平時成績一般與學生作業的完成情況，平時的課堂表現和上課的出勤情況等等相關。多年以來這樣的設置，已經被學生接納。于是平時成績就成為了教師根據實際班級的情況和學生博弈的一個調節手段。因此如何設置合理的激勵機制，利用合理的評價體系來促進學生對課程的學習，是一個非常值得探索的問題。

對于學生學習的激勵，可以由外向內來進行。從外部層面上說，學習的成績和排名是直接和保研、出國以及能否順利畢業等獎懲措施掛鉤的。對內而言，學習是學生自我的要求，對內心的自信、自我實現的完成度都會成為學習的動力。對主動學習的學生而言，要保證評價的公平性，并且激發其課下的潛力，比如鼓勵和指導其參加數學建模競賽等。對學習積極然而有困難的學生而言，要積極溝通，幫助其解決困難，增加其對學習掌握后的信心。對于消極怠工的學生，可以采用小組搭建的方式，通過樹立學風和良好的學習習慣學習態度，使其不至于掉隊。

另一方面，學生在自己團體中的地位也會影響學習的積極性。例如在課程設計等通過分組完成的部分，每個學生可以自由的選擇命題，選擇命題相同的自動成為一個小組，同時在每個小組里設置名額有限的分數等級，通過學生之間的投票來完成最后的評分。既保證了對不同命題難易程度導致的分數差異的公平性，又激發了學生內心希望收獲班級同學間的尊重感和成就感的渴望，在激勵學生自主學習的積極性上，是一個非常好的方法。

（二）移動學習

高等代數是一門有著非常深刻背景應用的學科，這樣的特點，非常適合利用手機來進行一些碎片知識的學習。教師可以自己寫一些通俗易懂的科普性文章，或者推薦好的公眾號，利用朋友圈和qq等社交工具分享給感興趣的學生。學生可以在一些碎片時間里，通過閱讀這些文章，更加激發起自己的學習興趣，豐富知識。而學生之間的二次分享，也將雪片式地帶動更多的學生進行碎片時間的利用和學習。

四、結束語

對于高等代數課程教學教法的改革和創新，必須兼顧數學素質和邏輯的培養，以及應用和背景的介紹和使用，貫徹以學生為主，通過各種教學手段和教學方法的改進來提高學生對該課程的學習興趣，培養學生的邏輯思維、抽象思維能力，以及自主學習的能力，為以后的學習和工作打下堅實的基礎。

參考文獻：

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[4]徐利治.徐利治論數學方法學[M].山東教育出版社，2001.

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