微分方程在用羅爾定理證明等式中的應(yīng)用

仲盛

摘 要：用羅爾定理證明等式的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)的一般方法是用導(dǎo)數(shù)倒推，此種方法難度較大，可以用微分方程直接求解輔助函數(shù)，更方便更有效。

關(guān)鍵詞：中值定理；微分方程；輔助函數(shù)

微分中值定理最直接的應(yīng)用是可以用來證明一些等式，而這類問題大多數(shù)情況下是以“至少存在一點使某等式成立”的形式出現(xiàn)。

在用微分中值定理證明等式時，該如何構(gòu)造輔助函數(shù)，是高等數(shù)學(xué)中難以掌握的技巧，本文以羅爾定理為例，給出了一個在用中值定理證明等式時構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，即通過微分方程來構(gòu)造輔助函數(shù)，從而為技巧性較強(qiáng)的輔助函數(shù)的構(gòu)造，提供了一個一般性的新方法。

一、羅爾中值定理

由例1可見，用羅爾定理證明等式時，要構(gòu)造輔助函數(shù)F（x），驗證其在[a，b]上滿足羅爾中值定理的三個條件，由證明F ′（ξ）=0，達(dá)到證明問題的目的。

至此，證明思路已經(jīng)明確，但是該何構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）便成為解決問題的關(guān)鍵。在例1中是通過導(dǎo)數(shù)倒推，但是用導(dǎo)數(shù)倒推F（x）的難度比較大，解題者受自身水平所限，常常無法迅速正確的推出F（x），尤其是對高職學(xué)生來說難度更大。

用導(dǎo)數(shù)倒推構(gòu)造輔助函數(shù)的過程，其實就是在做導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，而導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算就是積分運(yùn)算，而能將導(dǎo)數(shù)和積分結(jié)合應(yīng)用的就是微分方程。由此，筆者找到了構(gòu)造輔助函數(shù)的一般性方法，即用微分方程直接求出輔助函數(shù)F（x）。

二、結(jié)語

本文給出了在用中值定理證明等式時，可以用微分方程直接求解輔助函數(shù)，這種方法較之用導(dǎo)數(shù)倒推輔助函數(shù)，很多情況下會更直接更有效。

參考文獻(xiàn)：

[1] Maurice Weir.托馬斯微積分[M].北京：高等教育出版社，2003，8.