自主構(gòu)建 動(dòng)態(tài)生成

陸英俊??

摘 要：指數(shù)函數(shù)是學(xué)習(xí)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)后遇到的第一個(gè)基本初等函數(shù)，所以在知識與方法上要發(fā)揮承上啟下的作用，一方面要探究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是對前面學(xué)習(xí)內(nèi)容的具體實(shí)踐；另一方面要通過實(shí)踐建構(gòu)研究函數(shù)的一般方法，為后面其他函數(shù)的研究奠定基礎(chǔ)。在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生自主構(gòu)建，感受指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，生成自己對指數(shù)函數(shù)的理解。

關(guān)鍵詞：自主構(gòu)建；指數(shù)函數(shù)；課堂實(shí)錄；教學(xué)反思

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）24-099-2

筆者有幸參加2016年9月底鹽城市高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動(dòng)，所授課題為《指數(shù)函數(shù)（第1課時(shí)）》，教材為蘇教版必修1，學(xué)生為四星級高中——江蘇省射陽中學(xué)的高一學(xué)生。回顧本課題的教學(xué)設(shè)計(jì)以及實(shí)際教學(xué)過程，感觸頗多。

一、總體設(shè)計(jì)說明（略）

二、教學(xué)過程剖析

1.創(chuàng)設(shè)情景，建構(gòu)概念

師：通過前面的學(xué)習(xí)，同學(xué)們明白了函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。那么初中階段學(xué)過哪些基本函數(shù)呢？

生：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)。

師：比如二次函數(shù)的一般形式是什么呢？

生：y=ax2+bx+c（a≠0）。

師：許多函數(shù)模型是從實(shí)際問題中提煉、抽象出來的。今天我們將一起從新的問題情境中探索新的函數(shù)模型。

情境1：某細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……以此類推，寫出一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與分裂次數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式。

情境2：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年這種物質(zhì)的質(zhì)量是原來的84%，如果經(jīng)過x年，該物質(zhì)的質(zhì)量為y，如何描述這兩個(gè)變量的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：從具體情景案例中引入課題，能夠讓學(xué)生感受到指數(shù)函數(shù)與實(shí)際生活的聯(lián)系，感受指數(shù)模型。

學(xué)生得到了兩個(gè)變量之間的關(guān)系，同時(shí)得到解析式為y=2x，（x∈N）和y=0.84x，（x∈N）。

師：接下來我們進(jìn)行一般化，抽離實(shí)際背景并擴(kuò)充定義域?yàn)镽，得到函數(shù)y=2x和y=0.84x。這樣的函數(shù)大家見過嗎？你還能舉出類似的函數(shù)嗎？

生：（舉例）函數(shù)y=3x，y=4x，y=0.2x，y=（13）x。

師：這些函數(shù)有什么共同特點(diǎn)呢？

生：都是指數(shù)運(yùn)算，底數(shù)是常數(shù)，自變量在指數(shù)位置。

師：這些函數(shù)可以統(tǒng)一形式嗎？

生：可以統(tǒng)一寫成形式：y=ax。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷自主舉例，先歸納共同特征，然后將形式統(tǒng)一化，抽象化，初步形成指數(shù)函數(shù)的概念，并用數(shù)學(xué)符號表示。

師：y=ax中，自變量是x，底數(shù)a是常數(shù)，剛才舉例的函數(shù)，區(qū)別就是底數(shù)不同。那么底數(shù)可以取哪些值呢？底數(shù)允許的范圍是什么呢？

生：底數(shù)不能為負(fù)數(shù)。

師：能說明理由嗎？

生：如果底數(shù)取了負(fù)數(shù)，比如-2，那么指數(shù)x=0.5時(shí)沒有意義了。

師：底數(shù)還有要求嗎？

生：底數(shù)不能為0。

師：為什么？

生：底數(shù)為0時(shí)，指數(shù)取-2時(shí)也沒有意義。

師：為了研究的方便，我們要求底數(shù)a>0。

生：當(dāng)?shù)讛?shù)取1時(shí)，函數(shù)簡化為熟悉的常數(shù)函數(shù)y=1。

師：這個(gè)常數(shù)函數(shù)我們已經(jīng)研究過了，沒有必要再研究。所以通常還規(guī)定a≠1。

通過探討，得到了最基本、最簡潔的形式：y=ax（a>0且a≠1），從而建構(gòu)了指數(shù)函數(shù)的概念。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)的三要素及函數(shù)歸類的依據(jù)。函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則是函數(shù)概念的重點(diǎn)，考查函數(shù)往往首先觀察定義域與對應(yīng)法則。所以用集合觀點(diǎn)看，既滿足對應(yīng)法則的統(tǒng)一要求又滿足定義域的統(tǒng)一特點(diǎn)，才歸類到名為“指數(shù)函數(shù)”的集合中來。

2.探索圖象，歸納性質(zhì)

（1）初定研究方法

問題串師：定義了一種新的函數(shù)，接下來我們要研究什么呢？如何研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)呢？一般研究函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？

設(shè)計(jì)意圖：用問題串引導(dǎo)學(xué)生先明確研究的內(nèi)容與方法，從總體上認(rèn)識研究的目標(biāo)與策略。教師可以抓住研究的內(nèi)容和方法，通過問題串的方式對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)。

師：我們定義了一種新的函數(shù)，接下來我們研究什么呢？

生：接下來研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

師：一般地，我們研究函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？

生：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性。

師：怎么研究函數(shù)的性質(zhì)呢？

生：先畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，分析圖象得到性質(zhì)。

生：先畫幾個(gè)具體的指數(shù)函數(shù)的圖象，然后再研究一般的情況。

設(shè)計(jì)意圖：從具體的指數(shù)函數(shù)圖象出發(fā)，觀察圖象特征并分析性質(zhì)，進(jìn)而猜想和歸納一般的指數(shù)函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)。需要注意，觀察圖象特征的同時(shí)，還要有意識的歸納，對結(jié)論做必要的理性思考，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來分析、研究問題。

師：那么同學(xué)們自己選3、4個(gè)指數(shù)函數(shù)，畫出圖象，然后觀察它們的性質(zhì)。

師：那么有待研究的新函數(shù)，我們有什么辦法畫出函數(shù)的圖象嗎？

生：用以前初中學(xué)過的描點(diǎn)法。

師：描點(diǎn)法的一般步驟是什么呢？

生：一般步驟是：列表、描點(diǎn)、連線。

設(shè)計(jì)意圖：高一學(xué)生更習(xí)慣于形象思維，所以提出用圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)。這樣的方法能夠符合學(xué)生實(shí)際情況，但教師要提示學(xué)生關(guān)注研究的目標(biāo)，體會(huì)從具體到抽象、從特殊到一般的思維方法。

（2）自主探究，歸納性質(zhì)

展示學(xué)生所畫圖象時(shí)，可以考慮分層次展示：（1）在一個(gè)坐標(biāo)系里只畫出一個(gè)函數(shù)圖象；（2）在一個(gè)坐標(biāo)系里畫出兩個(gè)函數(shù)圖象；（3）在一個(gè)坐標(biāo)系里畫出兩個(gè)底數(shù)都大于1的函數(shù)圖象；（4）在一個(gè)坐標(biāo)系里畫出一個(gè)底數(shù)大于1，而另一個(gè)底數(shù)小于1的函數(shù)圖象；（5）在一個(gè)坐標(biāo)系里畫出兩個(gè)底數(shù)互為倒數(shù)的函數(shù)圖象。這樣層層遞進(jìn)的方式呈現(xiàn)，讓學(xué)生的思維深化到更深的層次中。

設(shè)計(jì)意圖：觀察圖象是對圖形語言的感受。根據(jù)圖象描述性質(zhì)，是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言或文字語言。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不同的指數(shù)函數(shù)圖象的“不變”，來提煉出一般化的性質(zhì)。并且將函數(shù)圖象的直觀感受與理性思維相結(jié)合，將觀察所得的結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼f明或證明。在此過程中，幫助學(xué)生由具體指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)歸納到一般指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

歸納性質(zhì)應(yīng)當(dāng)有條理，可以根據(jù)性質(zhì)按照層次歸納：（1）一般函數(shù)都有的共性性質(zhì)，如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性等；（2）一類函數(shù)特有的個(gè)性性質(zhì)，比如過定點(diǎn)、漸進(jìn)線等；（3）函數(shù)之間的關(guān)系與性質(zhì)。

歸納得到的結(jié)論需要進(jìn)行驗(yàn)證。對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可以從代數(shù)方面去說明或證明，也可以借助于多媒體通過動(dòng)態(tài)圖象的驗(yàn)證，進(jìn)一步體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.知識運(yùn)用，深化理解

師：現(xiàn)在我們了解了指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)，它有什么用處呢？

例題 比較下列各組數(shù)種兩個(gè)值的大小：

（1）1.72.5 1.73.2；（2）0.6-1.2 0.6-1.5；（3）1.50.8 0.81.2

設(shè)計(jì)意圖：大部分學(xué)生會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。前兩個(gè)小問，學(xué)生較快發(fā)現(xiàn)利用y=1.7x和y=0.6x的單調(diào)性進(jìn)行比較大小。其中部分學(xué)生解決第3小問時(shí)有一些困難。教師在處理這個(gè)難點(diǎn)時(shí)，要在第1小問和第2小問中，滲透圖象的研究體現(xiàn)函數(shù)圖象的作用。在第3小問中，畫出兩個(gè)指數(shù)函數(shù)y=1.5x和y=0.8x的圖象后發(fā)現(xiàn)公共點(diǎn)（0，1），從而分別將兩個(gè)數(shù)與1進(jìn)行大小比較。

例題雖是比較數(shù)值的大小，實(shí)則需要函數(shù)的觀點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題。關(guān)鍵在于如何引入函數(shù)，這正是提升學(xué)生思維能力的好機(jī)會(huì)。

變式1：比較下列兩個(gè)數(shù)大小：a0.7，a1.3（其中a>0且a≠1）

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感知底數(shù)含有參數(shù)時(shí)，需要分類討論進(jìn)行研究。培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想與方法。

變式2：（1）已知3m≥30.5，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）已知0.2n≥25，求實(shí)數(shù)n的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：作為例題的逆向思考，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的逆用。加強(qiáng)學(xué)生對構(gòu)建函數(shù)利用單調(diào)性來比較大小的理解。

4.概括知識，總結(jié)方法

師：本節(jié)課同學(xué)們學(xué)到了哪些知識？

生：學(xué)到了指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)。

師：經(jīng)歷了怎樣的研究過程？

生：從特殊函數(shù)到一般函數(shù)，從具體到抽象。

師：知識層面上，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)；方法層面上，從特殊到一般、從具體到抽象是我們研究指數(shù)函數(shù)的方法，也是研究其他函數(shù)的一般方法，今后我們還會(huì)運(yùn)用這些方法來研究新的函數(shù)；數(shù)學(xué)思想層面上，數(shù)形結(jié)合、特殊到一般、分類討論這些數(shù)學(xué)思想都有所體現(xiàn)。

設(shè)計(jì)意圖：課堂總結(jié)不僅是對所學(xué)知識的回顧，也是對研究方法、研究策略上的一種提煉與反思，讓學(xué)生在知識和能力上都有所提升。

5.分層作業(yè)，因材施教（略）

三、教學(xué)反思

1.數(shù)學(xué)教學(xué)以知識為載體，以問題為核心，在問題解決的過程中發(fā)展能力

學(xué)生的學(xué)習(xí)是在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上對新知的建構(gòu)，數(shù)學(xué)新知的教學(xué)應(yīng)當(dāng)以知識為載體，以問題為核心。在課堂中以問題串的方式讓學(xué)生探索，在學(xué)生逐步解決問題的過程中也發(fā)展了數(shù)學(xué)研究的能力。問題是引發(fā)學(xué)生思維和探究活動(dòng)的向?qū)АＳ辛藛栴}，學(xué)生的好奇心才能激發(fā)；有了問題，學(xué)生的思維閘門才能開啟，有了問題，學(xué)生的探究活動(dòng)才有載體。教師只有通過設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}，才能使教材中知識的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能把教材中的冰冷美麗轉(zhuǎn)化為學(xué)生的火熱思考，才能把教材中靜態(tài)的知識呈現(xiàn)轉(zhuǎn)化為課堂上動(dòng)態(tài)的建構(gòu)過程。[1]本課例中，如“定義了一種新的函數(shù)，接下來我們要研究什么呢？如何研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)呢？一般研究函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？”這樣的問題串引導(dǎo)學(xué)生思考研究的方法與策略，為指數(shù)函數(shù)的研究指明了方向，從而“努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程與本質(zhì)”，“使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法”[2]，實(shí)現(xiàn)從知識學(xué)習(xí)到智慧生成。

2.探究式學(xué)習(xí)讓學(xué)生的思維訓(xùn)練做到自主構(gòu)建，動(dòng)態(tài)生成

高中數(shù)學(xué)課程倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)等多種學(xué)習(xí)方式。體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過程，發(fā)展自主創(chuàng)新的精神。這樣的學(xué)習(xí)方式讓學(xué)生的思維能夠自主構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，動(dòng)態(tài)生成知識的因果關(guān)系。

“數(shù)學(xué)生態(tài)課堂的生成是學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與從環(huán)境中接受的感覺信息相互作用、主動(dòng)建構(gòu)的過程，是動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的，最終達(dá)到對數(shù)學(xué)意義的理解與鮮活思維的交流，讓學(xué)生感受到課堂中生命的涌動(dòng)和成長，使學(xué)生的心智得以健全發(fā)展，把課堂看成文化傳遞的途徑，只體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的保存價(jià)值，而未體現(xiàn)生成作用。數(shù)學(xué)教學(xué)要通過數(shù)學(xué)課堂對文化起到增值作用。只有師生雙方充分發(fā)揮其主動(dòng)能動(dòng)性，才能創(chuàng)造數(shù)學(xué)課堂的生成價(jià)值和生命價(jià)值。”[3]在本課例中，讓學(xué)生自主舉例、自主觀察函數(shù)的共同特征，從而構(gòu)建指數(shù)函數(shù)的概念；讓學(xué)生自選函數(shù)畫出圖象、自主感受圖象的規(guī)律，生成自己對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解。

[參考文獻(xiàn)]

[1]卓斌.例談數(shù)學(xué)教學(xué)中問題串的設(shè)計(jì)與使用[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（06）.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].人民教育出版社，2003.

[3]宋曉平，單墫.數(shù)學(xué)課堂文化的反思與建設(shè)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（4）.