例談數學概念教學問題情景的創設途徑

王麗??

摘 要：數學概念有些是由生產、生活實際問題抽象出來的，有些是由數學自身的發展而產生的，許多數學概念源于生活實際，但又依賴已有的數學概念而產生。根據數學概念產生的方式及數學思維的一般方法，結合學生的認知特點，可以用多種方法來創設數學概念形成的問題情景。

關鍵詞：高中數學；概念教學；問題情景；創設途徑

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）24-057-1

一、回顧已有相似概念，創設類比發現的問題情景

中學數學中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學，教師可先引導學生研究已學過的概念屬性，然后創設類比發現的問題情景，引導學生去發現，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認知結構中得以同化與構建。

例1 異面直線的距離的教學

1.展示概念背景：向學生指出：刻劃兩條異面直線的相對位置的一個幾何量——異面直線所成的角，這只能反映兩異面直線的傾斜程度，若要刻劃其遠近程度，需要用另一個量——異面直線之間的距離。

2.創設類比發現的問題情景：先引導學生回顧一下過去學過的有關距離的概念（點與點間的距離、點到直線的距離、平行線之間的距離），并概括出它們的共同點：各種距離概念都歸結為點與點間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。

3.啟迪發現階段：指出定義兩異面直線的距離也必須遵循上述原則，然后引導學生討論：異面直線a、b上哪兩點之間的距離最小？為什么？進一步誘導：如右圖，過直線a上一點B作AB⊥直線b，垂足為點A，則線段AB的長為異面直線a，b間的距離，對嗎？因為過A作AC⊥直線a，垂足為C，在Rt△ABC中有AB>AC，即AB不具有最小性。再過C作CD⊥直線b，如此下去…，線段只垂直于a、b中的一條時，總是某直角三角形的斜邊，不可能是a、b上任兩點間距離的最小者，那么，異面直線a、b上任兩點間距離的最小者到底應該是哪條線段的長呢？學生會發現：可能是與異面直線a、b都垂直相交的線段。

4.表述論證階段：最后引導學生發現：異面直線a、b的公垂線段MN的長度具有最小性，又公垂線是唯一的，所以，可以把線段MN定義為異面直線a，b之間的距離。

以上通過引導學生研究已有“距離”概念的本質特點，即產生新的概念的“生長點”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，學生覺得這一概念是已有距離概念的一種自然發展，不感到別扭。這樣的概念還有很多。

這類數學概念形成的問題情景創設一定要抓住新舊概念的相似點，為新的數學概念的形成提供必要的“認知基礎”，通過與熟悉的概念類比（類比的形式多樣，如平面與空間的類比、高維與低維的類比、有限與無限的類比，還有方法類比、結構類比、形式類比等等），可使學生更好地認識、理解、掌握新的數學概念。當然要注意類比得出的結論不一定正確，應引導學生修正錯誤的類比設想，直到得出正確結果。

二、聯想相關數學概念，創設引發猜想的問題情景

許多數學概念間存在著一定的聯系，教師若能將新舊概念間的聯系點設計成問題情景，引導學生建立起新舊概念間的聯系，便可以使學生牢固地掌握新的概念。

例2 異面直線所成角的概念教學

1.展示概念背景：教師與學生一起以熟悉的正方體為例，請學生觀察圖中有幾對異面直線？接著提問：從位置關系看，同為異面直線，但它們的相對位置，是否就沒有區別？教師緊接著說：既然有區別，說明僅用“異面”來描述異面直線間的相對位置顯然是不夠的。在生產實際與數學問題中，有時還需要進一步精確化，這就提出了一個新任務：怎樣刻劃異面直線間的這種相對位置，或者說，引進一些什么數量來刻劃這種相對位置？

2.情境設計階段：我們知道平面幾何中用“距離”來刻劃兩平行直線間的相對位置，用“角”來刻劃兩相交直線間的相對位置，那么用什么來刻劃兩異面直線的相對位置呢？我們還知道兩異面直線不相交，但它們又確實存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個角，用它的大小來度量異面直線的相對傾斜程度。為了解決這個問題，我們研究一道題：一張紙上畫有兩條能相交的直線a、b（但交點在紙外）。現給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段，問如何能量出a、b所成的角的大小？

3.猜想發現階段：解決上述問題的方法是過一點分別作a，b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線的傾斜程度呢？經學生研討后能粗略地得出異面直線的傾斜程度可轉化為平面內兩條相交直線的角（即過一點分別作a、b的平行線，這兩條平行線所成的角）。

4.表述論證階段：教師提問，這角（或平行線）一定可以作出來嗎？角的大小與作法有什么關系？（以上即是存在性和確定性問題）通過解決以上兩個問題得到：兩異面直線所成角的范圍規定在（0，π2]內，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點O（一線的平行線與另一線的平行線的交點）的選取無關，點O可任選.一般總是將點O選在特殊位置。至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個過程中滲透了把空間問題轉化為平面問題這一化歸的數學思想方法。

這類數學概念形成的問題情景創設一定要抓住新、舊數學概念間的本質屬性，為新概念的產生創設適當的固著點，使其孕育新的數學概念的形成。

以上列舉的兩種方法不是獨立的，而是相互聯系的，有些數學概念的產生與形成過程需要綜合運用多種方法才能創設出利于學生發現的問題情景。