數學模型在數學解題中的運用

劉建富

一、建立數學模型與數學解題的培養存在內在聯系

中學生在解題時往往不能看清題目的內在聯系，利用常規用的解法，這樣不但不能保證質量，而且計算量大而繁雜，所以培養數學解題思維，建立相應的數學模型，對中學生來說還是值得考慮的。

1.培養數學解題思路，要善于觀察、分析、理清題意，從而建立相應的圖形模型。

2.培養數學解題思路，要善于總結各個小知識點之間的聯系，從而建立相應地圖形模型。

二、建立數學模型在數學解題中的運用

利用圖形對變量間的關系作分析基礎，構建圖形將問題直觀地表示出來或將實際問題直接與幾何知識、代數知識結合，求解問題，這就是所謂的用數學圖形模型求解數學問題的方法。下面就從三個方面進行分析。

1.建立“解析幾何”模型解有關長度問題：

根據題意，畫出相應地圖形進行分析，圖形能反映出題目的各個變量間的關系。

例1 平地上有一條水溝，溝沿是兩條長100米的平行線段，溝寬AB為2米，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線頂點為O，對稱軸與地面垂直，溝深1.5米，溝中水深1米，求水面寬。

分析：根據題意，將截面OAB單獨取出，建立圖形坐標系：

A、B兩點的坐標分析為A（-5，1.5），

B（5，1.5），設G（t，1）則GH=2t。

解：根據題意，設拋物線的方程為：x2=2py，由于A點在拋物線上，因此有52=2p×1.5，得p=，拋物線的方程為x2=y，由點G（t，1）在拋物線上，有t2=×1，這樣便可解決問題。

2.建立“三角形”模型解不等式

在解決一些有關不等式問題的過程中，往往可以根據問題的結構特征，聯想有關的幾何圖形，巧妙地將不等式問題轉化為幾何問題，從而找到較為簡單的解法。

例2 已知f（x）=a，b為相異兩正數，

求證：|f（a）-f（b）|<|a-b|

分析：解不等式時用圖形模型進行分析求解，能達到比較好的效果，根據題意建立三角形圖形模型，

解：如圖，使AB=1，BD=a，BC=b，

則f（a）==AD

f（b）==AC

我們知道在三角形ACD中AC-AD

例3 設x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-x）+z（1-x）<1

分析：本題實屬代數不等式的證明，直接由條件向結論遷移，遷移難以實現解題目標，若考慮六個正數：x、1-y、y、1-z、z、1-x依次劃分為數之積之和的形狀，給我們以線段之積之和的形象，因而可構造一邊為1的等三角形ABC圖形模型，在BC CA AB上截取AC=x，ce=z，af=y，利用面積之和和關系即可證明不等式。

解：構造一邊長為1的正三角形ABC，并BC，CA，AB上截取BD=x，CE=z，AF=y，如圖，于是問題就可以還原到研究特殊三角形的性質上來，

S△ABC>S△BDF>S△DCF>S△AEF

∴1×1×sin60°+z（1-y）sin60°+z（1-x）sin60°+y（1-z）sin60°即1>x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）

∴原不等式得證。

三、數學圖形模型的推廣

有數學的地方，就有數學圖形模型的存在，數學模型的運用可以推廣到各個領域。

例4 若干支球隊參加單循環比賽，各隊兩兩交鋒，假設每場比賽只計勝負，不計比分，且沒有平局，在循環賽結束后怎樣根據他們的比賽結果排列名次呢？

分析：有幾種表述比賽結果的辦法，較直觀的一種是用圖的頂點表示球隊，而用連接兩個頂點的，以箭頭標明方向的邊表示兩支球隊的比賽結果，如圖所示，給出了6支球隊的比賽結果，即1隊戰勝2、4、5、6隊，而輸給了3隊，6隊戰勝3、6隊，而輸給1、2、4隊等等。

解：對于本題開始提出的6支球隊循環比賽的結果，如圖，不難看出這個競賽圖是雙向連通的，寫出其鄰接矩陣

進一步算出的最大特征根λ=2.232和特征向量S=（0.238，0.164，0.231

，0.113，0.150，0.104）排出名次為[1，3，2，5，4，6]

（作者單位：廣西河池南丹縣高級中學）